假设我有一个 $n\times p$ 数据矩阵 $X$, $p>>n$。为了降低数据的维度，我使用如下的主成分分析：我执行 SVD 并找到矩阵 U ($n \times r$) 和 V ($r \times p$) 使得 $X=UDV$，其中$D$ 是对角矩阵。现在我使用矩阵$V$ 减少$X$ 的维度，即使用PC 分数$Z=XV^{\prime}$。我的问题是在这种情况下，像“受限等距”这样的属性是否适用于投影数据点。特别是，如果我考虑 $X$ 的行是从某个分布独立生成的，那么以下成立的最尖锐的界限（$m$，$M$）是什么
$$ 米 \| x \|^2 \leq \| Vx \|^2 \leq M \| x \|^2 ?$$