我正在使用 Perl 来建模一个随机变量 ( Y)，它是一些 ~15-40k 独立伯努利随机变量 ( ) 的总和，X_i每个变量都有不同的成功概率 ( p_i正式地，Y=Sum{X_i}wherePr(X_i=1)=p_i和Pr(X_i=0)=1-p_i。
我有兴趣快速回答诸如Pr(Y<=k)（在哪里k给出）之类的问题。
目前，我使用随机模拟来回答此类查询。X_i我根据它随机绘制每个p_i，然后将所有X_i值相加得到Y'。我重复这个过程几千次，然后返回一小部分时间Pr(Y'<=k)。
显然，这并不完全准确，尽管随着我使用的模拟数量的增加，准确性会大大提高。
你能想出一个合理的方法来得到准确的概率吗？
首先，我会避免rand为此目的使用内置函数，因为它过于依赖底层 C 库实现而不是可靠的（例如，请参阅我的博客文章，指出randWindows 上的范围具有基数 32,768）。
要使用 Monte-Carlo 方法，我将从已知的良好随机生成器开始，例如Rand::MersenneTwister或仅使用Random.org的服务之一并预先计算 CDF 以Y假设Y它非常稳定。如果每个Y都只使用一次，那么预先计算 CDF 显然是没有意义的。
引用维基百科：
在概率论和统计学中，泊松二项分布是独立伯努利试验之和的离散概率分布。
换句话说，它是成功概率为p1, ..., pn的n 个独立是/否实验序列中成功次数的概率分布。（强调我的）
泊松二项式概率密度函数的封闭式表达式可能很有趣。这篇文章在付费墙后面：
我们讨论了它在计算速度和实现以及简化分析方面的一些优势，后者的例子包括矩的计算以及二项式系数和二项式累积分布函数 (cdf) 的新三角恒等式的开发。
为了获得精确的解决方案，您可以利用这样一个事实，即两个或多个独立随机变量之和的概率分布是它们各自分布的卷积。 卷积有点昂贵，但只有在p_i发生变化时才必须计算。
获得概率分布后，您可以通过计算概率的累积和轻松获得 CDF。
据我记得，这不应该渐近地成为正态分布吗？另请参阅此新闻组线程： http: //newsgroups.derkeiler.com/Archive/Sci/sci.stat.consult/2008-05/msg00146.html
如果是这样，您可以使用Statistics::Distrib::Normal。