r - 统计 - 测试统计的标准偏差 # 正面 - # 反面

Question

我有一个关于以下 N 的问题。抛硬币的次数 H 是第一次。获得的头数 T 是没有。获得的尾巴 Q = HT

N = 100
H = 63
T = 37
Q = 26

这是硬币没有偏见的重要证据吗？q 的标准差是多少？

谢谢！

Answer 1

如果您假设硬币一开始就有偏见，那么您需要一个 prob(head) 值来测试硬币是否无偏见。

鉴于您提供的数据，您可以进行二项式检验以查看硬币是否有偏差。

n <- 100
h <- 63
p <- 0.5

binom.test(h, n, p, alternative = "greater")

    Exact binomial test

data:  h and n
number of successes = 63, number of trials = 100,
p-value = 0.006016
alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
95 percent confidence interval:
 0.5434341 1.0000000
sample estimates:
probability of success 
                  0.63 

这个 p 值为 0.6%，这表明我们拒绝零假设而支持替代方案。即我们认为硬币是有偏见的。

[0.54, 1] 的 95% 置信区间进一步证明硬币存在偏差，因为它表明 P(H) > 0.5

Answer 2

对于正面概率为 p 的硬币的 n 次试验，差值 Y=(HT) 是一个随机变量，均值 = n (2 p - 1)，方差 = 4 np (1-p)。
以下数值模拟有助于更好地理解问题。

n <- 100
reps <- 100000
p <- 0.5

set.seed(4321)
y <- matrix(0,reps)
for (k in 1:reps) { 
 x <- rbinom(n, 1, p)
 Heads <- sum(x)
 Tails <- n - Heads
 y[k] <- Heads-Tails
}

mean(y)
[1] 0.01198
n*(2*p-1)
[1] 0

var(y)
         [,1]
[1,] 100.2223
4*n*p*(1-p)
[1] 100

hist(y, breaks=50, main="", freq=F)
curve(dnorm(x,mean=n*(2*p-1),sd=sqrt(4*n*p*(1-p))),-40,40, 
      add=T, lwd=2, col="red")