假设 C[x,y,z] 中的一组有限多项式具有有限数量的解（即生成的理想是 0 维的）。
还假设关于 lex order x>y>z 的 Groebner 基是
[f(z), g(y,z), h(y,z), k(x,y,z)]
众所周知，系统现在可以很容易地解决：选择 f 的根 z0，将其代入 g 和 h，然后寻找公共根 (y0) 等。
问题如下：对于 f 的每个根 z0 是否存在 y0,z0 使得 (x0,y0,z0) 满足系统？
在我看到的所有例子中，这是正确的，但我不知道这是普遍正确的还是有反例。
谢谢你。
是的，任何根目录z0都f可以扩展为(x0,y0,z0)系统根目录f = g = h = k = 0。
要看到这一点，请考虑Iz = <f>，其中Iz是生成的零维理想I与的交集C[z]，<f>是由 生成的理想f。I从证明中可以看出，与C[xi]所有变量的非平凡交集xi意味着有限零集（参见例如此处，第 2 页底部，尤其是第 3 页顶部），<f>包含一个多项式，该多项式仅考虑最小多项式（的幂）z在 的共同根中显示为 -value 的值I。由于f除此多项式，它也只有可以扩展到系统根的根。