statistics - Frechet Bounds 不等式

Question

在 Frechet Bounds 不等式方程中，

max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A & B) ≤ min(P(A), P(B))

我完全可以理解最小值P(A & B)为“0”和最大值为“P(A) 和 P(B)”的最小值背后的直觉，但在什么情况下最小值会是P(A)+ P(B)-1？

根据我的理解，最大值P(A)+P(B)可以是1或小于1。所以P(A)+P(B) -1总是“0”或负数。以什么可能的方式，P(A) +P(B)-1会大于“0”？

Answer 1

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A&B)，由联合规则。

=> P(A&B)=P(A)+P(B)-P(AUB) >= P(A)+P(B)-1, 因为P(AUB) <= 1, 是一个概率测度。(1)

此外，P(A&B) >= 0是一个概率测度。(2)

结合（1）和（2），P(A&B) >= max(0,P(A)+P(B)-1)

考虑下图中的以下两种情况：