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在 Haskell 中记忆递归函数的最快方法是什么？

背景：最近我一直在解决 Haskell 中的 Project Euler 问题。许多需要对递归定义的组合或数论函数进行多次计算，例如斐波那契数。如果这些函数被记忆，性能会显着提高，也就是说，函数的结果会被缓存以备后用。

我已经看到了很多解决这个问题的方法。最优雅的似乎是这个。一种使用 Data.IntMap（或哈希表）和 State monad。这个答案中建议了一个基于树的解决方案，这样的解决方案似乎相当普遍。再举一个例子，请看这篇博文。我见过使用内置函数的其他解决方案。在第 2 节中有fix一个与. 还有几个预建的解决方案。

我想知道对于 Project Euler 中使用的各种函数，哪种记忆方法在实践中最快。我的直觉说哈希表库是，因为哈希表似乎是命令式语言中首选的字典结构。纯功能树解决方案很酷，但我的谷歌搜索告诉我，它们在渐近性能方面比哈希表差。

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一些评论说这个问题太宽泛而无法回答，经过反思，我同意。因此，让我给出两个要记忆的函数的具体示例：一个递归计算第 n 个斐波那契数的函数，以及一个递归计算加泰罗尼亚数的函数。我想为大 n 多次计算这些函数。

我知道这些有明确的公式，但让我们忽略这一点，因为这里的真正意义是使用它们来对记忆技术进行基准测试。

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当试图找到第 n 个斐波那契数时，您需要记住的唯一数字是前两个数字。您可以将其作为 (f n-1, fn) 之类的元组执行，并在每个循环中更新此元组。请注意，更新元组是通过指针操作完成的，并且计算成本不高。

一个更清洁、更智能的替代方案是：

fibs :: [Integer]
fibs = fibcreator 0 1
  where
    fibcreator a b = a : fibcreator b (a+b)

nth = take n fibs

但我见过的最好的算法之一是：

  1. 让我们定义一个矩阵 m = [e11 = 1,e12 =1,e21 = 1,e22 = 0]
  2. 为了得到第 n 个斐波那契数，我们计算 m' = m ^ (n-1)
  3. 矩阵 m' 中的 e11 元素是第 n 个斐波那契数

现在最棒的是，为了得到 17 个斐波那契数，我们可以做

m' = ((((m^2)^2)^2)^2) * m

这显着减少了计算时间并被动地将记忆嵌入算法中。关键是 Haskell 已经使用这个算法来计算幂函数，所以你不需要实现它。完整的实现是：

data Matrix = Matrix Integer Integer Integer Integer

instance Num Matrix where
  (*) (Matrix a11 a12 a21 a22) (Matrix b11 b12 b21 b22)
   = Matrix (a11*b11 + a12*b21) (a11*b12 + a12*b22) (a21*b11 + a22*b21) (a21*b12 + a22*b22)

fib4 :: Integer -> Integer
fib4 0 = 0
fib4 n = x
  where
    (Matrix x _ _ _) = Matrix 1 1 1 0 ^ (n-1)
于 2017-01-29T11:57:57.253 回答