r - 目标函数中具有 a_ix_i^2 项的二次规划

Question

关于二次规划，我将如何设置目标函数，例如

min⁡ ∑a_i (x_i )^2

以“quadprog”或“limSolve”包的矩阵形式（对于这个包，我不确定它是否需要以矩阵形式）？

从我目前看到的讨论来看，没有二次项的乘法。

Answer 1

让我们考虑一个您提到的形式的简单线性约束二次程序：

min  0.5x^2 + 0.7y^2
s.t. x + y = 1
     x >= 0
     y >= 0

包解决quadprog方案

该quadprog软件包接受以下形式的模型：

min −d'b + 1/2b'Db
s.t. A'b >= b0

为了将我们的问题转化为这种形式，我们需要构造一个D以(2*0.5 2*0.7)为主对角线的矩阵，以及一个A具有三个约束和右手边的矩阵b0：

dvec <- c(0, 0)
Dmat <- diag(c(1.0, 1.4))
Amat <- rbind(c(1, 1), c(1, 0), c(0, 1))
bvec <- c(1, 0, 0)
meq <- 1  # The first constraint is an equality constraint

现在我们可以把它喂给solve.QP：

library(quadprog)
solve.QP(Dmat, dvec, t(Amat), bvec, meq=meq)$solution
# [1] 0.5833333 0.4166667

包解决limSolve方案

limSolve包的函数lsei接受以下形式的模型：

min  ||Ax-b||^2
s.t. Ex = f
     Gx >= h

为了获得我们的目标函数，我们需要构建以主对角线为主要对角线的矩阵A，(sqrt(0.5) sqrt(0.7))设置b为 0 向量，以及编码其他信息的矩阵和向量：

A <- diag(c(sqrt(0.5), sqrt(0.7)))
b <- c(0, 0)
E <- rbind(c(1, 1))
f <- 1
G <- diag(2)
h <- c(0, 0)

现在我们可以将此信息提供给lsei：

library(limSolve)
lsei(A, b, E, f, G, h)$X
# [1] 0.5833333 0.4166667