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我在 Wikipedia 中看到了这一点：高阶方程的泛化

我尝试实现它时的代码：

function generalSmoothStep(a, x) { //Generalized smoothstep
  var result = 0;
  for (var n = 0; n < a - 1; n ++) {
    result += binom(-a, n) * binom(2 * a - 1, a - n - 1) * Math.pow(x, a + n);
  }
  return result;
}

function smoothStep(x) { //Normal smoothstep
  return -2 * Math.pow(x, 3) + 3 * Math.pow(x, 2);
  //I know about x * x * (3 - 2 * x);
}

function binom(a, b) { //Binomial coefficient
  return Math.factorial(a) / (Math.factorial(a-b) *  Math.factorial(b));
}

Math.factorial = function(value) { //Factorial
  var result = 1;
  if (value > 0) {
    for (var count = 1; count <= value; count ++) {
      result *= count;
    }
  } else if (value < 0) {
    for (var count = -1; count >= value; count --) {
      result *= count;
    }
  } else {
    result = 1;
  }
  return result;
};

document.getElementById("normalStep").innerHTML = "smoothStep(0.2) = " + smoothStep(0.2);
document.getElementById("generalStep").innerHTML = "generalSmoothStep(2, 0.2) = " + generalSmoothStep(2, 0.2);
<head>
  <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
  <script>
    MathJax.Hub.Config({
      tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}
    });
  </script>
</head>

<body>
  <p>The function: $\operatorname{S}_a(x) = \sum_{n=0}^{a-1} \binom{-a}{n}\binom{2a - 1}{a - n - 1}x^{a + n}$</p>
  
  <p>Here is the result when I run:</p>
  
  <p id="normalStep"></p>
  <p id="generalStep"></p>
</body>

我知道二项式系数和阶乘，但一个问题是阶乘不能与负数一起使用，所以我尝试使用技巧绕过它，但失败了......

还有（）（）链接在一起的部分，我认为它是binom之间的乘法（）*（），并与x^（a + n）相乘，如上所述，但它仍然不起作用。

谷歌使用了类似的词：“一般平滑步骤”，“平滑步骤总和”，但仍然没有返回任何好的解释......

任何人都知道为什么我的代码不起作用，以及如何在 Javascript 中实现一般的 smoothStep 函数

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2 回答 2

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您可以使用帕斯卡三角代替二项式系数来解决该问题。这是有关帕斯卡三角形的更多详细信息的链接。

https://trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/pascalsTriangle.htm https://trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/pascalGenCoefficients.gif

这是使用帕斯卡三角形的解决方案。

function generalSmoothStep(a, x) { //Generalized smoothstep
  var result = 0;
  for (var n = 0; n <= a - 1; n++) {
    result += (pascalTriangle(-a, n) * pascalTriangle(2 * a - 1, a - n - 1) * Math.pow(x, a + n));
  }
  return result;
}

function pascalTriangle(a, b){
  var result = 1; 
  for(var i = 1; i <= b; i++){
    result *= ((a - (i - 1)) / i);
  }
  return result;
}

function smoothStep(x) { //Normal smoothstep
  return -2 * Math.pow(x, 3) + 3 * Math.pow(x, 2);
}

console.log("smoothStep(0.3) = " + smoothStep(0.3));
console.log("generalSmoothStep(2, 0.3) = " + generalSmoothStep(2, 0.3));

于 2016-12-17T07:41:50.897 回答
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您可以将负二项式系数替换为使用正数的变体。基于另一篇维基百科文章中描述的负二项式系数的推广，使用正二项式系数的平滑步长方程将是：

使用正多项式的 Smoothstep

所以生成的代码将是：

function generalSmoothStep(a, x) { //Generalized smoothstep
  var result = 0;
  for (var n = 0; n <= a - 1; n ++) {
    // Change negative binom coeff to positive equivalent
    result += Math.pow(-1, n) * binom(a + n - 1, n) * binom(2 * a - 1, a - n - 1) * Math.pow(x, a + n);
  }
  return result;
}

function binom(a, b) { //Binomial coefficient
  return Math.factorial(a) / (Math.factorial(a-b) *  Math.factorial(b));
}

Math.factorial = function(value) { //Factorial
  var result = 1;
  if (value > 0) {
    for (var count = 1; count <= value; count ++) {
      result *= count;
    }
  } else if (value < 0) {
    for (var count = -1; count >= value; count --) {
      result *= count;
    }
  } else {
    result = 1;
  }
  return result;
}

function smoothStep(x) { //Normal smoothstep
  return -2 * Math.pow(x, 3) + 3 * Math.pow(x, 2);
}

console.log("smoothStep(0.3) = " + smoothStep(0.3));
console.log("generalSmoothStep(2, 0.3) = " + generalSmoothStep(2, 0.3));

但是，由于此版本计算阶乘，因此与 Tushar Ghosh 对较大值a的答案中的代码相比，此函数将开始变得不那么准确。

于 2016-12-19T09:08:07.637 回答