r - R中的Toeplitz矩阵向量乘法

Question

我有 anxn symmetrix toeplitz matrix T，一个v长度为 n 的向量，我想快速计算矩阵向量乘积T%*%v。R 中是否有一个包可以使用快速傅立叶变换计算方法T%*%v（或其他方法，如果存在的话）？例如，Matlab 有 Toeplitzmult 包。

Answer 1

下面的功能有效。请注意，该ifft()函数需要pracma库。

toepmult <- function(A,v){
    n <- nrow(A)
    x <- as.matrix(c(A[1,],0,A[1,][n:2]))
    p <- c(v,rep(0,n))
    h <- as.vector(fft(p)*fft(x))
    out <- Re(pracma::ifft(h)[1:n])
    return( matrix(out,n) )
}

对于大小为 1000 的向量/矩阵，该toepmult函数需要大约 18% 的时间A%*%v。

A <- toeplitz(runif(1000))
v <- runif(1000)
microb(A%*%v,toepmult(A,v),times=1000)
#Unit: microseconds
#           expr      min       lq      mean   median        uq      max neval
#        A %*% v 1515.858 1597.345 1809.3517 1693.533 1957.4350 3868.788  1000
# toepmult(A, v)  185.901  215.395  331.2928  298.435  347.7335 4611.285  1000
#[[1]]
#           [,1]      [,2]
#median 1693.533   298.435
#ratio     1.000     0.176
#diff      0.000 -1395.098

对于大小为 10,000 的向量/矩阵，该toepmult函数需要大约 2.5% 的时间A%*%v。

A <- toeplitz(runif(10000))
v <- runif(10000)
microb(A%*%v,toepmult(A,v),times=1000)
#Unit: milliseconds
#           expr        min         lq       mean     median         uq      max neval
#        A %*% v 145.834304 160.395663 181.842779 170.396014 186.221449 495.2003  1000
# toepmult(A, v)   2.802058   4.077408   4.990894   4.322707   4.911103 180.4926  1000
#[[1]]
#          [,1]     [,2]
#median 170.396    4.323
#ratio    1.000    0.025
#diff     0.000 -166.073