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我正在尝试使用 FiPy 来模拟太阳能电池，但即使对于简单的测试用例，我也很难获得合理的结果。

我的测试问题是在黑暗中平衡的突然 1D pn 同质结。方程的控制系统是没有额外生成或重组的半导体方程。

泊松方程用介电常数ε确定半导体中的电场 ( φ )，给定电子 ( n )、空穴 ( p )、施主 ( N D ) 和受主 ( N A )的密度，其中电子是q：

∇² φ = q ( p - n + N D - N A ) / ε

电子和空穴随电流密度J漂移和扩散，这取决于它们的迁移率 ( μ ) 和扩散常数 ( D )：

J n = qμ n n E + qD n ∇n

J p = qμ p p E - qD p ∇n

系统中电荷的演变由电子和空穴连续方程解释：

∂n/∂t = (∇· J n ) / q

∂p/∂t = - (∇· J p ) / q

可以用 FiPy 规范形式表示为：

∂n/∂t = μ n ∇·(− n ∇ φ ) + D n ∇² n

∂p/∂t = − ( μ p ∇·(− p ∇ φ ) − D p ∇² n )

为了尝试解决 FiPy 中的问题，我首先导入模块并定义物理参数。

from __future__ import print_function, division
import fipy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

eps_0 = 8.8542e-12     # Permittivity of free space, F/m
q     = 1.6022e-19     # Charge of an electron, C
k     = 1.3807e-23     # Boltzmann constant, J/K
T     = 300            # Temperature, K
Vth   = (k*T)/q        # Thermal voltage, eV

N_ap  = 1e22           # Acceptor density in p-type layer, m^-3
N_an  = 0              # Acceptor density in n-type layer, m^-3
N_dp  = 0              # Donor density in p-type layer, m^-3
N_dn  = 1e22           # Donor density in n-type layer, m^-3

mu_n  = 1400.0e-4      # Mobilty of electrons, m^2/Vs
mu_p  = 450.0e-4       # Mobilty of holes, m^2/Vs
D_p   = k*T*mu_p/q     # Hole diffusion constant, m^2/s
D_n   = k*T*mu_n/q     # Electron diffusion constant, m^2/s
eps_r = 11.8           # Relative dielectric constant

n_i   = (5.29e19 * (T/300)**2.54 * np.exp(-6726/T))*1e6       
V_bias = 0

然后创建网格、解决方案变量和掺杂配置文件。

nx = 20000
dx = 0.1e-9
mesh = fipy.Grid1D(dx=dx, nx=nx)
Ln = Lp = (nx/2) * dx

phi = fipy.CellVariable(mesh=mesh, hasOld=True, name='phi')
n = fipy.CellVariable(mesh=mesh, hasOld=True, name='n')
p = fipy.CellVariable(mesh=mesh, hasOld=True, name='p')
Na = fipy.CellVariable(mesh=mesh, name='Na')
Nd = fipy.CellVariable(mesh=mesh, name='Nd')

然后我在单元中心上设置一些初始值，并对所有参数施加狄利克雷边界条件。

x = mesh.cellCenters[0]

n0 = n_i**2 / N_ap
nL = N_dn
p0 = N_ap
pL = n_i**2 / N_dn
phi_min = -(Vth)*np.log(p0/n_i)
phi_max = (Vth)*np.log(nL/n_i) + V_bias

Na.setValue(N_an, where=(x >= Lp))
Na.setValue(N_ap, where=(x < Lp))
Nd.setValue(N_dn, where=(x >= Lp))
Nd.setValue(N_dp, where=(x < Lp))
n.setValue(N_dn, where=(x > Lp))
n.setValue(n_i**2 / N_ap, where=(x < Lp))
p.setValue(n_i**2 / N_dn, where=(x >= Lp))
p.setValue(N_ap, where=(x < Lp))
phi.setValue((phi_max - phi_min)*x/((Ln + Lp)) + phi_min)

phi.constrain(phi_min, mesh.facesLeft)
phi.constrain(phi_max, mesh.facesRight)
n.constrain(nL, mesh.facesRight)
n.constrain(n_i**2 / p0, mesh.facesLeft)
p.constrain(n_i**2 / nL, mesh.facesRight)
p.constrain(p0, mesh.facesLeft)

我将泊松方程表示为

eps = eps_0*eps_r
rho = q * (p - n + Nd - Na)
rho.name = 'rho'

poisson = fipy.ImplicitDiffusionTerm(coeff=eps, var=phi) ==  -rho

连续性方程为

cont_eqn_n = (fipy.TransientTerm(var=n) == 
              (fipy.ExponentialConvectionTerm(coeff=-phi.faceGrad*mu_n, var=n) 
               + fipy.ImplicitDiffusionTerm(coeff=D_n, var=n)))

cont_eqn_p = (fipy.TransientTerm(var=p) == 
              - (fipy.ExponentialConvectionTerm(coeff=-phi.faceGrad*mu_p, var=p) 
               - fipy.ImplicitDiffusionTerm(coeff=D_p, var=p)))

并通过耦合方程和扫描求解：

eqn  = poisson & cont_eqn_n & cont_eqn_p

dt = 1e-12
steps = 50
sweeps = 10    

for step in range(steps):
    phi.updateOld()
    n.updateOld()
    p.updateOld()
    for sweep in range(sweeps):
        eqn.sweep(dt=dt)

我已经尝试过网格大小、时间步长、时间步长数、扫描次数等的不同值。我看到了一些变化，但没有找到一组给我一个现实解决方案的条件。我认为问题可能在于当前术语的表达方式。

通常在求解这些方程时，电流密度是使用 Scharfetter-Gummel (SG) 离散化方案来近似的，而不是直接离散化。在 SG 方案中，通过电池面的电子电流密度 ( J ) 近似为定义在电池K和L两侧的中心的电势 ( φ ) 和电荷密度 ( n ) 值的函数

J n,KL = qμ n V T [ B ( δφ/V T ) n L - B (- δφ/V T ) n K )

其中q是电子上的电荷，μ n是电子迁移率，V T是热电压，δφ = φ L - φ K，B ( x ) 是伯努利函数x /( e x -1)。

如何在 FiPy 中实施该方案对我来说并不明显。我已经看到有一个scharfetterGummelFaceVariable，但我无法从文档中确定它是否适合或打算解决这个问题。查看代码，它似乎只计算伯努利函数乘以因子e φ L。是否可以直接使用scharfetterGummelFaceVariable来解决此类问题？如果是这样，怎么做？如果没有，是否有替代方法可以让我使用 FiPy 模拟半导体设备？

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