r - 如何使用 R 中的 QR 分解计算最小二乘估计量的方差？

Question

我正在尝试学习 QR 分解，但无法弄清楚如何在不求助于传统矩阵计算的情况下获得 beta_hat 的方差。我正在使用iris数据集进行练习，这就是我目前所拥有的：

y<-(iris$Sepal.Length)
x<-(iris$Sepal.Width)
X<-cbind(1,x)
n<-nrow(X)
p<-ncol(X)
qr.X<-qr(X)
b<-(t(qr.Q(qr.X)) %*% y)[1:p]
R<-qr.R(qr.X)
beta<-as.vector(backsolve(R,b))
res<-as.vector(y-X %*% beta)

谢谢你的帮助！

Answer 1

设置（复制你的代码）

y <- iris$Sepal.Length
x <- iris$Sepal.Width
X <- cbind(1,x)
n <- nrow(X)
p <- ncol(X)
qr.X <- qr(X)
b <- (t(qr.Q(qr.X)) %*% y)[1:p]  ## can be optimized; see Remark 1 below
R <- qr.R(qr.X)  ## can be optimized; see Remark 2 below
beta <- as.vector(backsolve(R, b))
res <- as.vector(y - X %*% beta)

数学

计算

剩余自由度为n - p，因此估计方差为

se2 <- sum(res ^ 2) / (n - p)

因此，估计系数的方差协方差矩阵为

V <- chol2inv(R) * se2

#           [,1]         [,2]
#[1,]  0.22934170 -0.07352916
#[2,] -0.07352916  0.02405009

验证

让我们通过比较来检查正确性lm：

fit <- lm(Sepal.Length ~ Sepal.Width, iris)

vcov(fit)

#            (Intercept) Sepal.Width
#(Intercept)  0.22934170 -0.07352916
#Sepal.Width -0.07352916  0.02405009

结果一模一样！

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备注 1（跳过形成“Q”因子）

代替b <- (t(qr.Q(qr.X)) %*% y)[1:p]，您可以使用函数qr.qty（以避免形成“Q”矩阵）：

b <- qr.qty(qr.X, y)[1:p]

备注 2（跳过形成“R”因子）

您不必提取R <- qr.R(qr.X)for backsolve; 使用qr.X$qr就足够了：

beta <- as.vector(backsolve(qr.X$qr, b))

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附录：估计函数

以上是最简单的演示。在实践中，需要处理列旋转和排名不足。下面是一个实现。X是模型矩阵，y是响应。结果应与lm(y ~ X + 0).

qr_estimation <- function (X, y) {
  ## QR factorization
  QR <- qr(X)
  r <- QR$rank
  piv <- QR$pivot[1:r]
  ## estimate identifiable coefficients
  b <- qr.qty(QR, y)[1:r]
  beta <- backsolve(QR$qr, b, r)
  ## fitted values
  yhat <- base::c(X[, piv] %*% beta)
  ## residuals
  resi <- y - yhat
  ## error variance
  se2 <- base::c(crossprod(resi)) / (nrow(X) - r)
  ## variance-covariance for coefficients
  V <- chol2inv(QR$qr, r) * se2
  ## post-processing on pivoting and rank-deficiency
  p <- ncol(X)
  beta_full <- rep.int(NA_real_, p)
  beta_full[piv] <- beta
  V_full <- matrix(NA_real_, p, p)
  V_full[piv, piv] <- V
  ## return
  list(coefficients = beta_full, vcov = V_full,
       fitted.values = yhat, residuals = resi, sig = sqrt(se2))
  }