我的朋友目前正在研究使用最大似然估计 (MLE) 方法估计时间序列模型 SARIMAX（季节性 ARIMA 外生）参数的作业。他使用的数据是2000-2012年的月降雨量，以印度洋偶极子（IOD）指数为外生变量。这是数据：
MONTH YEAR RAINFALL IOD
1 1 2000 15.3720526 0.0624
2 2 2000 10.3440804 0.1784
3 3 2000 14.6116392 0.3135
4 4 2000 18.6842179 0.3495
5 5 2000 15.2937896 0.3374
6 6 2000 15.0233152 0.1946
7 7 2000 11.1803399 0.3948
8 8 2000 11.0589330 0.4391
9 9 2000 10.1488916 0.3020
10 10 2000 21.1187121 0.2373
11 11 2000 15.3980518 -0.0324
12 12 2000 18.9393770 -0.0148
13 1 2001 19.1075901 -0.2448
14 2 2001 14.9097284 0.1673
15 3 2001 19.2379833 0.1538
16 4 2001 19.6900990 0.3387
17 5 2001 8.0684571 0.3578
18 6 2001 14.0463518 0.3394
19 7 2001 5.9916609 0.1754
20 8 2001 8.4439327 0.0048
21 9 2001 11.8321596 0.1648
22 10 2001 24.3700636 -0.0653
23 11 2001 22.3584436 0.0291
24 12 2001 23.6114379 0.1731
25 1 2002 17.8409641 0.0404
26 2 2002 14.7377067 0.0914
27 3 2002 21.2226294 0.1766
28 4 2002 16.6403125 -0.1512
29 5 2002 10.8074049 -0.1072
30 6 2002 6.3796552 0.0244
31 7 2002 17.0704423 0.0542
32 8 2002 1.7606817 0.0898
33 9 2002 5.3665631 0.6736
34 10 2002 8.3246622 0.7780
35 11 2002 17.8044938 0.3616
36 12 2002 16.7062862 0.0673
37 1 2003 13.5572859 -0.0628
38 2 2003 17.1113997 0.2038
39 3 2003 14.9899967 0.1239
40 4 2003 14.0996454 0.0997
41 5 2003 11.4017542 0.0581
42 6 2003 6.7749539 0.3490
43 7 2003 7.1484264 0.4410
44 8 2003 10.3004854 0.4063
45 9 2003 10.6630202 0.3289
46 10 2003 20.6518764 0.1394
47 11 2003 20.8638443 0.1077
48 12 2003 20.5548048 0.4093
49 1 2004 16.0436903 0.2257
50 2 2004 17.2568827 0.2978
51 3 2004 20.2361063 0.2523
52 4 2004 11.6619038 0.1212
53 5 2004 12.8296532 -0.3395
54 6 2004 8.4202138 -0.1764
55 7 2004 15.5916644 0.0118
56 8 2004 0.9486833 0.1651
57 9 2004 7.2732386 0.2825
58 10 2004 18.0083314 0.3747
59 11 2004 14.4672043 0.1074
60 12 2004 17.3637554 0.0926
61 1 2005 18.9420168 0.0551
62 2 2005 17.0146995 -0.3716
63 3 2005 23.3002146 -0.2641
64 4 2005 17.8689675 0.2829
65 5 2005 17.2365890 0.1883
66 6 2005 14.0178458 0.0347
67 7 2005 12.6925175 -0.0680
68 8 2005 9.3861600 -0.0420
69 9 2005 11.7132404 -0.1425
70 10 2005 18.5768673 -0.0514
71 11 2005 19.6723156 -0.0008
72 12 2005 18.3248465 -0.0659
73 1 2006 18.6252517 0.0560
74 2 2006 18.7002674 -0.1151
75 3 2006 23.4882950 -0.0562
76 4 2006 19.5652754 0.1862
77 5 2006 13.6857590 0.0105
78 6 2006 11.1265448 0.1504
79 7 2006 11.0227038 0.3490
80 8 2006 7.6550637 0.5267
81 9 2006 1.8708287 0.8089
82 10 2006 5.4129474 0.9479
83 11 2006 15.2249795 0.7625
84 12 2006 14.1703917 0.3941
85 1 2007 22.8691932 0.4027
86 2 2007 14.3317829 0.3353
87 3 2007 13.0766968 0.2792
88 4 2007 23.2335964 0.2960
89 5 2007 12.2474487 0.4899
90 6 2007 11.3357840 0.2445
91 7 2007 9.3112835 0.3629
92 8 2007 1.6431677 0.5396
93 9 2007 6.8483575 0.6252
94 10 2007 13.1529464 0.4540
95 11 2007 14.5120639 0.2489
96 12 2007 18.7909553 0.0054
97 1 2008 17.6493626 0.3037
98 2 2008 13.3828248 0.1166
99 3 2008 19.0525589 0.2730
100 4 2008 17.3262806 0.0467
101 5 2008 5.2345009 0.4020
102 6 2008 3.3166248 0.4263
103 7 2008 10.1094016 0.5558
104 8 2008 11.7260394 0.4236
105 9 2008 10.7470926 0.4762
106 10 2008 15.1591557 0.4127
107 11 2008 25.5558213 0.1474
108 12 2008 18.2455474 0.1755
109 1 2009 14.5430396 0.2185
110 2 2009 12.8569048 0.3521
111 3 2009 24.0707291 0.2680
112 4 2009 16.0374562 0.3234
113 5 2009 7.2387844 0.4757
114 6 2009 13.8021737 0.3078
115 7 2009 7.5232972 0.1179
116 8 2009 6.3403470 0.1999
117 9 2009 4.6583259 0.2814
118 10 2009 13.0958008 0.3646
119 11 2009 15.3329710 0.1914
120 12 2009 19.0394328 0.3836
121 1 2010 15.5080624 0.4732
122 2 2010 17.1551742 0.2134
123 3 2010 23.9729014 0.6320
124 4 2010 18.2537667 0.5644
125 5 2010 18.2236111 0.1881
126 6 2010 14.6082169 0.0680
127 7 2010 13.6161669 0.3111
128 8 2010 11.1220502 0.2472
129 9 2010 20.7870152 0.1259
130 10 2010 19.5371441 -0.0529
131 11 2010 24.8837296 -0.2133
132 12 2010 15.5016128 0.0233
133 1 2011 17.3435867 0.3739
134 2 2011 17.6096564 0.4228
135 3 2011 19.0682983 0.5413
136 4 2011 20.4890214 0.3569
137 5 2011 12.0540450 0.1313
138 6 2011 12.5896783 0.2642
139 7 2011 5.0990195 0.5356
140 8 2011 6.5726707 0.6490
141 9 2011 2.5099801 0.5884
142 10 2011 17.6380271 0.7376
143 11 2011 17.5128524 0.6004
144 12 2011 17.2655727 0.0990
145 1 2012 16.6883193 0.2272
146 2 2012 20.8374663 0.1049
147 3 2012 16.7002994 0.1991
148 4 2012 18.7962762 -0.0596
149 5 2012 16.9292646 -0.1165
150 6 2012 11.6490343 0.2207
151 7 2012 6.2529993 0.8586
152 8 2012 5.8991525 0.9473
153 9 2012 7.8485667 0.8419
154 10 2012 12.5817328 0.4928
155 11 2012 24.7770055 0.1684
156 12 2012 23.2486559 0.4899
在此过程中，他使用R它是因为它具有用于分析 SARIMAX 模型的软件包。到目前为止，他一直在使用arimax()具有季节性 ARIMA 订单 (1,0,1) 的 TSA 包的功能做得很好。
所以在这里我附上他的语法：
#Importing data
data=read.csv("C:/DATA.csv", header=TRUE)
rainfall=data$RAINFALL
exo=data$IOD
#Creating the suitable model of data that is able to be read by R with ts() function
library(forecast)
rainfall_ts=ts(rainfall, start=c(2000, 1), end=c(2012, 12), frequency = 12)
exo_ts=ts(exo, start=c(2000, 1), end=c(2012, 12), frequency = 12)
#Fitting SARIMAX model with seasonal ARIMA order (1,0,1) & estimation method is MLE (or ML)
library(TSA)
model_ts=arimax(log(rainfall_ts), order=c(1,0,1), seasonal=list(order=c(1,0,1), period=12), xreg=exo_ts, method='ML')
结果如下：
> model_ts
Call:
arimax(x = log(rainfall_ts), order = c(1, 0, 1), seasonal = list(order = c(1,
0, 1), period = 12), xreg = exo_ts, method = "ML")
Coefficients:
ar1 ma1 sar1 sma1 intercept xreg
0.5730 -0.4342 0.9996 -0.9764 2.6757 -0.4894
s.e. 0.2348 0.2545 0.0018 0.0508 0.1334 0.1489
sigma^2 estimated as 0.1521: log likelihood = -86.49, aic = 184.99
虽然他声称语法是有效的，但他的讲师期望更多。从理论上讲，因为他使用了 MLE，他已经证明了对数似然函数的一阶导数给出了隐式解。这意味着估计过程无法用 MLE 分析完成，因此我们需要继续使用数值方法来完成它。
所以这是我朋友的讲师的期望。他希望他至少可以说服他确实需要以数值方式进行估计，如果是这样，他也许可以向他展示 R 使用的方法（数值方法，例如 Newton-Raphson、BFGS、 BHHH 等）。
但这里的问题是该arimax()函数没有让我们选择数值方法来选择是否需要以数值方式执行估计，如下所示：
model_ts=arimax(log(rainfall_ts), order=c(1,0,1), seasonal=list(order=c(1,0,1), period=12), xreg=exo_ts, method='ML')
以上'method'为估计方法，可用方法为ML, CSS,和CSS-ML。很明显，上面的 sintax 不包含数值方法，这就是问题所在。
那么有没有可能知道R使用什么数值方法的方法？或者我的朋友只是构建自己的程序而不依赖于arimax()函数？
如果我的代码中有任何错误，请告诉我。我也为任何语法或词汇错误道歉。英语不是我的母语。