math - 功能一对一并从集合到另一个

Question

我在某处看到，如果我们有一个从 X 到 Y的一对一函数意味着我们有一个从 Y 到 X 的到函数。我无法理解！谁能解释一下？？

Answer 1

我们可以通过绘制两个圆圈来形象化这一点，分别代表 X 和 Y。圆圈中的点代表每个集合中的元素。

箭头代表您的功能或“映射”。

所以1-1意味着 X 圆中的每个点都映射到 Y 圆中的唯一点。

Onto意味着每个点都有一个指向它的箭头。如果你看图片，X 显然不在 Y 上。有两个没有箭头的点。

现在通过翻转线上的箭头来查看“反向”映射。

注意在逆变换中，X 的每个元素至少有一个来自 Y 的元素去往它吗？这就是你的问题的答案。第一张图片（X 到 Y）中的 1-1 表示第二张图片（Y 到 X）必须在上面。

关于满射函数的维基百科文章进一步解释了这一点。

Answer 2

如果 X 的每个元素都映射到 Y 的不同元素，则函数 F: X → Y进入（又名单射）：

∀ x ∈ X, ∃ y ∈ Y | f(x) = y; x ₁ ≠ x ₂ ⇒ f(x ₁ ) ≠ f(x ₂ )

如果 Y 的每个元素都有映射到它的 X 的某个元素，则它是on（又名surjective ）：

∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X | y = f(x)

对于 F 是一对一的（又名bijective），这两件事都必须是真的。因此，根据定义，一对一的函数既是 in 又是 on。

但是您说“必须存在从 Y 到 X的 on函数”。“从 Y 到 X”部分可能是什么让你绊倒？F 在，但它是从 X 到 Y。从 Y 到 X 的 on 函数是 F 的逆函数。这也必须是双射的，因此是。

一些作者使用“一对一”作为“内射”而不是“双射”的同义词。这种分歧令人困惑，但我们坚持下去。然而，在任一定义下，F 的逆存在（每个内射函数都有逆）并且是满射的（F 是为 X 的每个元素定义的，因此 F 的逆将 Y 的某些元素映射到 X 的每个元素）。