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我必须对具有以下形式的 ODE 系统进行数值求解：

du_j/dt = f_1(u_j, v_j, t) + g_1(t)v_(j-1) + h_1(t)v_(j+1),

dv_j/dt = f_2(u_j, v_j, t) + g_2(t)u_(j-1) + h_2(t)u_(j+1),

其中u_j(t)和v_j(t)是时间 的复值标量函数t，f_i和g_i是给定的函数， 和j = -N,..N。这是一个初值问题，任务是在某个时间找到解决方案T。

如果，则可以独立求解g_i(t) = h_i(t) = 0不同 值的方程。j在这种情况下，我借助四阶 Runge-Kutta 方法获得了稳定且准确的解。然而，一旦我打开耦合，结果就时间网格步长和函数的显式形式而言变得非常不稳定g_i，h_i。

我想尝试使用隐式 Runge-Kutta 方案是合理的，在这种情况下它可能是稳定的，但如果我这样做，我将不得不评估一个巨大的 size 矩阵的逆矩阵4*N*c，其中c取决于顺序每个步骤的方法（例如c = 3，对于 Gauss-Legendre 方法）。当然，该矩阵将主要包含零并具有块三对角形式，但它似乎仍然非常耗时。

所以我有两个问题：

  1. g_i有没有一种稳定的显式方法，即使在耦合函数h_i（非常）大的情况下也能工作？

  2. 如果隐式方法确实是一个很好的解决方案，那么最快的块三对角矩阵求逆方法是什么？目前我只是执行一个简单的高斯方法，避免由于矩阵的特定结构而出现的冗余操作。

可能对我们有帮助的其他信息和详细信息：

  • 我使用 Fortran 95。

  • 我目前考虑g_1(t) = h_1(t) = g_2(t) = h_2(t) = -iAF(t)sin(omega*t)，其中i是虚数单位，A并且omega给定常数，并且F(t)是一个平滑的包络线，首先从 0 到 1，然后从 1 到 0，所以F(0) = F(T) = 0。

  • 最初u_j = v_j = 0除非j = 0. 绝对值很大的函数u_j和对所有 来说都非常小，因此初始峰值不会到达“边界”。v_jjt

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1）如果您的函数非常大，将没有稳定的显式方法。这是因为显式（Runge-Kutta）方法的稳定性区域是紧凑的。

2）如果您的矩阵大于 100x100，您可以使用此方法： Inverses of Block Tridiagonal Matrices and Rounding Errors。

于 2016-08-29T11:40:24.110 回答