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我的微积分老师给了我们一个程序，使用梯形规则计算给定区间的定积分。我知道编程函数像算术函数一样接受输入并产生输出，但我不知道如何进行逆运算：在给定输出的情况下找到输入。

问题指出：

“使用具有不同数量 n 增量的梯形规则来估计从 t=0 到 t=9 的距离。当 n > D 时，找到一个梯形和在该限制 (468) 的 0.01 单位内的数字 D 。”

我已经通过计算器的“即插即用”估计了极限，我知道使用常规代数函数，我可以轻松做到：

limit (468) = 具有变量 x 的代数表达式（然后求解 x）

但是，我将如何为编程功能执行此操作？给定输出，我将如何确定编程函数的输入？

我正在计算区间 0 和 9 之间的多项式 (x^2+11x+28)/(x+4) 的定积分。计算器中的梯形规则函数计算区间 0 和 9 之间的定积分使用给定数量的梯形，n。

总的来说，我想知道如何做到这一点：

求解 n：468 = 梯形规则（a = 0，b = 9，n）；

我的 TI-83 上的 trapezoidal_rule(a, b, n) 的代码：

Prompt A
Prompt B
Prompt N
(B-A)/N->D
0->S
A->X
Y1/2->S
For(K,1,N-1,1)
X+D->X
Y1+S->S
End
B->X
Y1/2+S->S
SD->I
Disp "INTEGRAL"
Disp I

因为我不熟悉这种语法，也不熟悉计算机算法，所以我希望有人能帮我把这段代码变成代数方程，或者为我指明方向。

编辑：这不是我作业的一部分——只是求知欲

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1 回答 1

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多项式 (x^2+11x+28)/(x+4)

这等于 x+7。梯形规则应该为这个函数提供完全正确的结果！我猜这实际上不是您正在使用的功能...

给定函数的输出，没有通用的方法可以确定它的输入是什么。（一方面，许多函数可以将多个不同的输入映射到同一个输出。）

因此，当您将具有给定步数的梯形规则应用于给定函数时，有一个错误公式，您可以在这里使用它来计算您需要的 n 的值......但是（1）它不是非常漂亮，并且（2）当您刚刚开始研究梯形规则时，期望您做的事情似乎不是一件很合理的事情。我猜你的老师实际上只是想让你“即插即用”。

我不知道（见上文）您实际上正在集成什么功能，但让我们假设它只是 x^2+11x+28。下面我将其称为 f(x)。这个从 0 到 9 的积分实际上是 940.5。假设你把区间 [0,9] 分成 n 块。然后梯形规则给你： [f(0)/2 + f(1*9/n) + f(2*9/n) + ... + f((n-1)*9/n) + f(9)/2] * 9/n。

让我们将其分为 x^2、11x 和 28 的贡献。事实证明，梯形近似为后两者提供了完全正确的结果。（练习：找出原因。）所以你从梯形规则得到的错误与你从 f(x) = x^2 得到的错误完全一样。

x^2 从 0 到 9 的实际积分为 (9^3-0^3)/3 = 243。梯形近似为 [0/2 + 1^2+2^2+...+(n- 1)^2 + n^2/2] * (9/n)^2 * (9/n)。（练习：找出原因。）连续平方和有一个标准公式：1^2 + ... + n^2 = n(n+1/2)(n+1)/3。所以我们对 x^2 积分的梯形近似是 (9/n)^3 乘以 [(n-1)(n-1/2)n/3 + n^2/2] = (9/n)^ 3 次 [n^3/3+1/6] = 243 + (9/n)^3/6。

换句话说，这种情况下的误差正好是 (9/n)^3/6 = (243/2) / n^3。

因此，例如，当 (243/2) / n^3 < 0.01 时，误差将小于 0.01，这与 n^3 > 100*243/2 = 12150 相同，当 n >= 23 时为真.

[编辑补充：我没有仔细检查我的任何代数或算术；可能会有小错误。我认为你感兴趣的是想法而不是具体数字。]

于 2011-02-06T01:46:25.377 回答