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给定一个可分离的 2-qubit 状态

φ = φ 0 ⊗ φ 1

和

φ i = a i0 |0> + a i1 |1>

因此 φ 可以写为

φ = b 00 |00> + b 01 |01> + b 10 |10> + b 11 |11>

和

b ij = a 0i a 1j。

现在给定一些 b ij，即任意 2 量子位状态

φ = b 00 |00> + b 01 |01> + b 10 |10> + b 11 |11>

令 B = (b ij )。通过施密特分解，有 2x2 矩阵 U、V、Σ，使得

  • U, V 单一

  • Σ 正半定对角线

  • B = U ∘ Σ ∘ V*

设 σ 0 , σ 1为 Σ 的两个对角元素。

当且仅当 σ 0 + σ 1 > 1时，状态 φ = b 00 |00> + b 01 |01> + b 10 |10> + b 11 |11> 是纠缠的。

问题

给定状态 φ = b 00 |00> + b 01 |01> + b 10 |10> + b 11 |11> 及其施密特分解 B = U ∘ Σ ∘ V*，使得 σ 0 + σ 1 ≤ 1 ，即状态是可分离的。这意味着存在 φ i = a i0 |0> + a i1 |1>，因此 φ 可以写为

φ = φ 0 ⊗ φ 1

如何从 B = (b ij ) 即从 U、V、Σ计算 A = (a ij )？

这是相反的

b ij = a 0i a 1j

鉴于 b ij定义了一个可分离的状态。

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1 回答 1

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如果给定一个纯状态并承诺它是可分离的，则不需要施密特分解来计算这些部分。只需将幅度放在网格中，读取一部分的列之间的比例，并读取另一部分的行之间的比例。

也就是说，2-qubit 系统 φ 是可分的，所以 φ = αβ 保证 φ₀₀/φ₀₁ = φ₁₀/φ₁₁ = β₀/β₁ 并且 φ₀₀/φ₁₀ = φ₀₁/φ₁₁ = α₀/α₁。并且知道 α₀/α₁ 足以求解 α，除了全局相位因子。（注意：如果 α₁ 可能为零，则使用比例 α₀:α₁ 而不是比率 α₀/α₁。）

这可以推广到具有更多量子比特的系统。一个给定的量子比特子集是可分离的，当且仅当由所有其他量子比特分组为您提供一堆在它们之间具有一致比例的部分。并且碎片之间的比例限制了除了全局相位因子之外的所有内容。

使用施密特分解作为捷径

施密特分解确实使这更容易。它完成了所有艰难的“重建比例”工作。如果一个纯系统是可分离的，那么它的 SVD 分解应该只有一个非零奇异值，并且该奇异值应该等于 1。所以你有类似的东西：

  |1 0 0 ...|
U |0 0 0 ...| V
  |0 0 0 ...|
  |... . ...|

但这只是将 U 的第一列乘以 V 的第一行！因此，我们有一个具有 n*m 个条目的系统是从一个具有 n 个条目的系统和一个具有 m 个条目的系统创建的……是的，第一列和第一行包含 α 和 β 的幅度。

例子

我的电路模拟器 Quirk 具有执行这种分离的内置在线幅度显示器（无需执行 SVD）。你可以在 github 上看到它的代码，虽然它都是基于 GPU 的，所以不是特别清楚。

（这是迄今为止写的最复杂的显示，因为它必须进行分组然后比较所有组。但是有些组可能没有幅度，因此必须忽略它们，并且系统中可能存在浮动错误引起的噪声所以你应该专注于大群体和...... blergh。）

您也可以在模拟器本身中使用它。这是使用这些显示器的示例电路：

带幅度显示的电路

您可能还会发现这篇博文在直观上很有用。

于 2016-07-23T19:11:11.610 回答