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我很难找到关于这个主题的任何好的信息。基本上我想找到四元数旋转的分量，即围绕给定轴（不一定是 X、Y 或 Z - 任何任意单位向量）。有点像将四元数投影到向量上。因此，如果我要要求围绕与四元数轴平行的某个轴进行旋转，我会得到相同的四元数。如果我要要求绕与四元数轴正交的轴旋转，我会得到一个恒等四元数。介于两者之间......好吧，这就是我想知道如何解决的问题：）

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5 回答 5

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这个问题有一个优雅的解决方案，特别适用于四元数。它被称为“摆动扭曲分解”：

在伪代码中

/**
   Decompose the rotation on to 2 parts.
   1. Twist - rotation around the "direction" vector
   2. Swing - rotation around axis that is perpendicular to "direction" vector
   The rotation can be composed back by 
   rotation = swing * twist

   has singularity in case of swing_rotation close to 180 degrees rotation.
   if the input quaternion is of non-unit length, the outputs are non-unit as well
   otherwise, outputs are both unit
*/
inline void swing_twist_decomposition( const xxquaternion& rotation,
                                       const vector3&      direction,
                                       xxquaternion&       swing,
                                       xxquaternion&       twist)
{
    vector3 ra( rotation.x, rotation.y, rotation.z ); // rotation axis
    vector3 p = projection( ra, direction ); // return projection v1 on to v2  (parallel component)
    twist.set( p.x, p.y, p.z, rotation.w );
    twist.normalize();
    swing = rotation * twist.conjugated();
}

可以在此处找到此代码的详细答案和推导 http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/for/decomposition/

于 2014-03-14T09:39:08.120 回答
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前几天我试图为动画编辑器找到完全相同的东西。我是这样做的：

  1. 取要绕其旋转的轴，并找到与其正交的向量。
  2. 使用四元数旋转这个新向量。
  3. 将此旋转矢量投影到以您的轴为法线的平面上

  4. 这个投影向量和原始正交的点积的 acos 是你的角度。

    public static float FindQuaternionTwist(Quaternion q, Vector3 axis)
{
    axis.Normalize();

    // Get the plane the axis is a normal of
    Vector3 orthonormal1, orthonormal2;
    ExMath.FindOrthonormals(axis, out orthonormal1, out orthonormal2);

    Vector3 transformed = Vector3.Transform(orthonormal1, q);

    // Project transformed vector onto plane
    Vector3 flattened = transformed - (Vector3.Dot(transformed, axis) * axis);
    flattened.Normalize();

    // Get angle between original vector and projected transform to get angle around normal
    float a = (float)Math.Acos((double)Vector3.Dot(orthonormal1, flattened));

    return a;
}

这是查找正交的代码，但是如果您只想要上述方法的一个，您可能会做得更好：

private static Matrix OrthoX = Matrix.CreateRotationX(MathHelper.ToRadians(90));
private static Matrix OrthoY = Matrix.CreateRotationY(MathHelper.ToRadians(90));

public static void FindOrthonormals(Vector3 normal, out Vector3 orthonormal1, out Vector3 orthonormal2)
{
    Vector3 w = Vector3.Transform(normal, OrthoX);
    float dot = Vector3.Dot(normal, w);
    if (Math.Abs(dot) > 0.6)
    {
        w = Vector3.Transform(normal, OrthoY);
    }
    w.Normalize();

    orthonormal1 = Vector3.Cross(normal, w);
    orthonormal1.Normalize();
    orthonormal2 = Vector3.Cross(normal, orthonormal1);
    orthonormal2.Normalize();
}

尽管上述方法有效，但您可能会发现它的行为与您预期的不同。例如，如果您的四元数将矢量旋转 90 度。大约 X 和 90 度。围绕 Y 你会发现，如果你分解围绕 Z 的旋转，它将是 90 度。也是。如果您想象一个矢量进行这些旋转，那么这很有意义，但取决于您的应用程序，它可能不是所需的行为。对于我的应用程序——约束骨骼关节——我最终得到了一个混合系统。矩阵/四元组自始至终使用，但当涉及到约束关节的方法时，我在内部使用欧拉角，每次将旋转四元组分解为围绕 X、Y、Z 的旋转。

祝你好运，希望有帮助。

于 2010-12-03T00:42:24.233 回答
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迄今为止，minorlogic 指出摆动扭曲分解的答案是最好的答案，但它缺少重要的一步。ra问题（使用 Minorlogic 的伪代码符号）是，如果和的点积p为负，那么您需要对 的所有四个分量求反twist，以便生成的旋转轴指向与 相同的方向direction。否则，如果您尝试测量旋转角度（忽略轴），您会混淆正确旋转和正确旋转的反向，这取决于调用时旋转轴方向是否发生翻转projection(ra, direction)。请注意，projection(ra, direction)计算点积，因此您应该重复使用它而不是计算两次。

这是我自己的摆动扭曲投影版本（在某些情况下使用不同的变量名称而不是 Minorlogic 的变量名称），并进行了点积校正。代码用于 JOML JDK 库，例如 computes v.mul(a, new Vector3d())，a * v并将其存储在一个新向量中，然后返回该向量。

/**
 * Use the swing-twist decomposition to get the component of a rotation
 * around the given axis.
 *
 * N.B. assumes direction is normalized (to save work in calculating projection).
 * 
 * @param rotation  The rotation.
 * @param direction The axis.
 * @return The component of rotation about the axis.
 */
private static Quaterniond getRotationComponentAboutAxis(
            Quaterniond rotation, Vector3d direction) {
    Vector3d rotationAxis = new Vector3d(rotation.x, rotation.y, rotation.z);
    double dotProd = direction.dot(rotationAxis);
    // Shortcut calculation of `projection` requires `direction` to be normalized
    Vector3d projection = direction.mul(dotProd, new Vector3d());
    Quaterniond twist = new Quaterniond(
            projection.x, projection.y, projection.z, rotation.w).normalize();
    if (dotProd < 0.0) {
        // Ensure `twist` points towards `direction`
        twist.x = -twist.x;
        twist.y = -twist.y;
        twist.z = -twist.z;
        twist.w = -twist.w;
        // Rotation angle `twist.angle()` is now reliable
    }
    return twist;
}
于 2020-08-20T09:31:27.040 回答
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Unity3d 的代码

// We have some given data
Quaternion rotation = ...;
Vector3 directionAxis = ...;

// Transform quaternion to angle-axis form
rotation.ToAngleAxis(out float angle, out Vector3 rotationAxis);

// Projection magnitude is what we found - a component of a quaternion rotation around an axis to some direction axis
float proj = Vector3.Project(rotationAxis.normalized, directionAxis.normalized).magnitude;
于 2019-08-22T06:54:05.223 回答
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我尝试实现sebf的回答，看起来不错，除了步骤1中vector的选择的选择：

  1. 取要绕其旋转的轴，并找到与其正交的向量。

不足以获得可重复的结果。我已经在纸上开发了这个，我建议采取以下措施来选择与“你想要找到旋转的轴”正交的向量，即观察轴。有一个垂直于观察轴的平面。您必须将四元数的旋转轴投影到该平面上。使用这个结果向量作为与观察轴正交的向量会得到很好的结果。

感谢 sebf 让我走上正确的道路。

于 2011-01-31T11:49:51.517 回答