recursion - 递归 lambda 演算函数

Question

我想创建一个 lambda 演算函数 P 这样(P x y z)给出((x y)(x P)(P z)). 我曾尝试使用 Y-combinator/Turing 组合器的变体，即 formλg.(g g)的函数，因为我需要重现函数本身，但我看不到任何前进的方向。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

基本上你想解决 "β-equation" P x y z = (x y) (x P) (P z)。有一种求解形式方程的一般方法M = ... M ...。您只需将右侧包装在 lambda 中，形成一个 term L，其中所有出现的M都替换为m：

L = λm. ... m ...

然后使用定点组合器得到你的解决方案。让我用你的例子来说明它。

L = λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)),
    where λxyz. is a shorthand for λx. λy. λz.   

然后，P = Y L展开Y，L我们得到：

P = (λf. (λg. f (g g)) (λg. f (g g))) (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)))
  ->β
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))
// the previous line is our "unfolded" P

让我们检查一下是否P符合我们的要求：

P x y z
    =   // unfolding definition of P
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) x y z
    ->β
((λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) x y z
    ->β
(λxyz. (x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)) x y z
    ->β
(x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 1st occurrence of P
(x y) (x P) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 2nd occurrence of P
(x y) (x P) (P z)

量子点

Answer 2

U-combinator应该帮助你创建一个自引用的 lambda 抽象。

这是 Ω，最小的非终止程序，很好地展示了 U 组合子。

((λf. (f f))
 (λf. (f f)))

如果你能给它一个名字

Ω := λf.(f f)

这是您的抽象可能看起来的样子

((λP. (P P x y z))
 (λP. λx. λy. λz. ((x y) (x P) (P z))))

或使用 Ω

λx. λy. λz. Ω (λP. λx. λy. λz. ((x y) (x P) (P z))) x y z