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为了给这个问题一些背景知识，我正在创建一个游戏，它需要知道一个物体的“轨道”是否在另一个轨道的容差范围内。为了展示这一点，我使用目标轨道绘制了一个具有给定半径（公差）的圆环形状，现在我需要检查椭圆是否在该圆环内。

我迷失在数学/堆栈交换的方程式中，所以要求更具体的解决方案。为澄清起见，这是一张带有圆环和轨道（红线）的游戏图像。很简单，我想检查那个红色轨道是否在那个圆环形状内。

在此处输入图像描述

我认为我需要做的是在其中一个轨道上的 World-Space 中绘制四个点（很容易做到）。然后我需要计算该点与其他轨道椭圆之间的最短距离。这是困难的部分。有几个例子可以找到点到椭圆的最短距离，但都是二维的，很难理解。

如果该距离小于所有四个点的容差，则认为这等于轨道位于目标圆环内。

为简单起见，所有这些轨道的原点始终位于世界原点 (0, 0, 0) - 我的坐标系是 Z-Up。每个轨道都有一系列定义它的参数（轨道元素）。

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2 回答 2

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这里简单的方法：

  1. 将每个轨道采样到一组N点。

    让来自第一个轨道的点A和来自第二个轨道的点B。

    const int N=36;
float A[N][3],B[N][3];

  2. 找到 2 个最近的点

    所以d=|A[i]-B[i]|是最小的。如果d小于或等于您的边距/阈值，则轨道彼此太近。

  3. 速度与准确性

    除非你对#2使用一些高级方法，否则它的计算会O(N^2)有点吓人。结果越大N，结果的准确性就越高，但计算时间也越长。有一些方法可以解决这两种情况。例如：

    1. 第一个小样本N

    2. 当找到最近的点时，再次对两个轨道进行采样

      但仅在有问题的那些点附近（更高N）。

      在此处输入图像描述

    3. 您可以通过循环＃2递归地提高准确性，直到您获得所需的精度

    4. 测试d椭圆是否彼此太近

于 2016-04-01T15:48:42.713 回答
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我想我可能有一个新的解决方案。

  1. 绘制当前轨道（椭圆）上的四个点。
  2. 将这些点投影到目标轨道（环面）的平面上。
  3. 使用目标轨道倾角作为平面的法线，计算每个（归一化）点与目标轨道上近点角之间的角度。
  4. 使用这个角度作为平均异常，并计算等效的偏心异常。
  5. 使用这些偏心异常来绘制目标轨道上的四个点——这应该是离另一个轨道最近的点。
  6. 检查这些点之间的距离。

这里的困难来自计算角度并将其转换为另一个轨道上的异常。不过，这应该比递归函数更准确、更快。当我尝试这个时会更新。

编辑：

是的，这行得通！

    // The Four Locations we will use for the checks
TArray<FVector> CurrentOrbit_CheckPositions;
TArray<FVector> TargetOrbit_ProjectedPositions;
CurrentOrbit_CheckPositions.SetNum(4);
TargetOrbit_ProjectedPositions.SetNum(4);

// We first work out the plane of the target orbit.
const FVector Target_LANVector = FVector::ForwardVector.RotateAngleAxis(TargetOrbit.LongitudeAscendingNode, FVector::UpVector); // Vector pointing to Longitude of Ascending Node
const FVector Target_INCVector = FVector::UpVector.RotateAngleAxis(TargetOrbit.Inclination, Target_LANVector);                  // Vector pointing up the inclination axis (orbit normal)
const FVector Target_AOPVector = Target_LANVector.RotateAngleAxis(TargetOrbit.ArgumentOfPeriapsis, Target_INCVector);           // Vector pointing towards the periapse (closest approach)

// Geometric plane of the orbit, using the inclination vector as the normal.
const FPlane ProjectionPlane = FPlane(Target_INCVector, 0.f);   // Plane of the orbit. We only need the 'normal', and the plane origin is the Earths core (periapse focal point)

// Plot four points on the current orbit, using an equally-divided eccentric anomaly.
const float ECCAngle = PI / 2.f;
for (int32 i = 0; i < 4; i++)
{
    // Plot the point, then project it onto the plane
    CurrentOrbit_CheckPositions[i] = PosFromEccAnomaly(i * ECCAngle, CurrentOrbit);
    CurrentOrbit_CheckPositions[i] = FVector::PointPlaneProject(CurrentOrbit_CheckPositions[i], ProjectionPlane);

    // TODO: Distance from the plane is the 'Depth'. If the Depth is > Acceptance Radius, we are outside the torus and can early-out here

    // Normalize the point to find it's direction in world-space (origin in our case is always 0,0,0)
    const FVector PositionDirectionWS = CurrentOrbit_CheckPositions[i].GetSafeNormal();

    // Using the Inclination as the comparison plane - find the angle between the direction of this vector, and the Argument of Periapse vector of the Target orbit
    // TODO: we can probably compute this angle once, using the Periapse vectors from each orbit, and just multiply it by the Index 'I'
    float Angle = FMath::Acos(FVector::DotProduct(PositionDirectionWS, Target_AOPVector));

    // Compute the 'Sign' of the Angle (-180.f - 180.f), using the Cross Product
    const FVector Cross = FVector::CrossProduct(PositionDirectionWS, Target_AOPVector);
    if (FVector::DotProduct(Cross, Target_INCVector) > 0)
    {
        Angle = -Angle;
    }

    // Using the angle directly will give us the position at th eccentric anomaly. We want to take advantage of the Mean Anomaly, and use it as the ecc anomaly
    // We can use this to plot a point on the target orbit, as if it was the eccentric anomaly.
    Angle = Angle - TargetOrbit.Eccentricity * FMathD::Sin(Angle);
    TargetOrbit_ProjectedPositions[i] = PosFromEccAnomaly(Angle, TargetOrbit);}

我希望评论描述它是如何工作的。经过几个月的摸索终于解决了。谢谢大家！

于 2016-04-04T11:46:28.010 回答