这是同伦类型理论书中的一个练习。这是我所拥有的:
data ℕ : Set where
zero : ℕ
succ : ℕ → ℕ
iter : {C : Set} → C → (C → C) → ℕ → C
iter z f zero = z
iter z f (succ n) = f (iter z f n)
succℕ : {C : Set} → (ℕ → C → C) → ℕ × C → ℕ × C
succℕ f (n , x) = (succ n , f n x)
iterℕ : {C : Set} → C → (ℕ → C → C) → ℕ → ℕ × C
iterℕ z f = iter (zero , z) (succℕ f)
recℕ : {C : Set} → C → (ℕ → C → C) → ℕ → C
recℕ z f = _×_.proj₂ ∘ iterℕ z f
indℕ : {C : ℕ → Set} → C zero → ((n : ℕ) → C n → C (succ n)) → (n : ℕ) → C n
indℕ z f zero = z
indℕ z f (succ n) = f n (indℕ z f n)
recℕzfzero≡z : {C : Set} {z : C} {f : ℕ → C → C} → recℕ z f zero ≡ z
recℕzfzero≡z = refl
recℕzfsuccn≡fnrecℕzfn : {C : Set} {z : C} {f : ℕ → C → C} (n : ℕ) →
recℕ z f (succ n) ≡ f n (recℕ z f n)
recℕzfsuccn≡fnrecℕzfn = indℕ refl ?
我不知道如何证明这一点recℕ z f (succ n) ≡ f n (recℕ z f n)
。我需要证明:
(n : ℕ) → recℕ z f (succ n) ≡ f n (recℕ z f n)
→ recℕ z f (succ (succ n)) ≡ f (succ n) (recℕ z f (succ n))
在英语中,给定一个自然数n
和归纳假设证明了结果。
中缀运算符_∘_
是正常的函数组合。和数据类型定义为_≡_
:_×_
data _≡_ {A : Set} : A → A → Set where
refl : {x : A} → x ≡ x
record _×_ (A B : Set) : Set where
constructor _,_
field
_×_.proj₁ : A
_×_.proj₂ : B
我一直在想一个解决方案,但我不知道如何解决这个问题。