math - 罗素悖论

Question

令 X 为不包含自身的所有集合的集合。X 是 X 的成员吗？

Answer 1

在ZFC中，基础公理 [如前所述] 或理解公理（方案）将禁止这一点。第一个，原因很明显；第二个，因为它基本上说对于给定的z和一阶属性P，你可以构造 { x ∈ z : P ( x ) }，但是要生成 Russell 集，你需要z = V（所有类集），它不是一个集合（即不能从任何给定的公理生成）。

在 New Foundations ( NF ) 中，“ x ∉ x ”不是分层公式，因此我们不能再次定义罗素集。然而，有点有趣的是，V 是NF中的一个集合。

在 von Neumann--Bernays--Gödel 集合论 ( NBG ) 中，类R = { x : x是一个集合并且x ∉ x } 是可定义的。然后我们问是否R ∈ R ; 如果是，那么R ∉ R也是矛盾的。因此我们必须有R ∉ R。但是这里没有矛盾，因为对于任何给定的类A，A ∉ R意味着A ∈ A或A是一个适当的类。由于R ∉ R，我们必须简单地认为R是一个适当的类。

当然，如果没有限制，类R = { x : x ∉ x } 在NBG中根本无法定义。

另外值得注意的是，上述过程在NBG中可以作为证明正式构造，而在ZFC中则必须诉诸元推理。

Answer 2

这个问题在标准ZFC（Zermelo-Fraenkel + 选择公理）集合论中是不恰当的，因为这样定义的对象不是集合。

由于（再次假设标准 ZFC）您的类{x : x\not\in x} 不是集合，答案变为否，它不是自身的元素（即使作为一个类），因为只有集合可以是类的元素或套。

顺便说一句，只要你同意基础公理，任何集合都不能成为其自身的元素。

当然，数学的好处是你可以选择任何你想要的公理:) 但是相信悖论是很奇怪的。

Answer 3

我见过的最优雅的证明与罗素悖论非常相似。

定理（我想是康托尔）。设 X 是一个集合，2^X 是它的子集。然后卡片（X）<卡片（2 ^ X）。

证明。当然 card(X) <= card(2^X)，因为 X 和 2^X 中的单例之间存在微不足道的双射。我们必须证明 card(X) != card(2^X)。

假设 X 和 2^X 之间存在双射。然后 X 中的每个 xk 映射到 2^X 中的一个集合 Ak。

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> 阿克
• ...

对于每个 xk，机会是：xk 要么属于 Ak，要么不属于 Ak。令 M 为所有不属于其对应集合 Ak 的 xk 的集合。M是X的子集，因此X的元素m一定存在，它通过双射映射到M。

m 属于 M 吗？如果是，则不是，因为 M 是那些不属于它们所映射到的集合的 x 的集合。如果它不存在，那么它存在，因为 M 包含所有这样的 x。这种矛盾源于存在双射的假设。因此双射不存在，两个基数不同，定理得到证明。