3d - 给定 3D 中的 N 个点时如何创建三次贝塞尔曲线？

Question

因此，当仅知道曲线上的点时，我需要找出控制点在三次贝塞尔曲线上的位置，这些点可以位于 3D 中。如果我可以对曲线上的任意数量的点执行此操作，那将是理想的。我发现的大部分内容只涉及 2D，或者只涉及 4 个点。

Answer 1

让我看看我是否理解你：你想要一个插值贝塞尔曲线，通过一组给定的点 P0 P1 ...
但绘制为贝塞尔曲线，具有如下功能

bezier4( nstep, Pj, Cj, Dj, Pj+1 )  -- control points Cj, Dj

也就是说，您想为每个 Pj - Pj+1 导出两个 Bezier 控制点 Cj、Dj？

推导此类控制点的一种方法是使用伯恩斯坦多项式基

b0(t) = (1-t)^3
b1(t) = 3 (1-t)^2 t,
b2(t) = 3 (1-t) t^2
b3(t) = t^3

bezier4(t) = b0(t) P0  +  b1(t) C0  +  b2(t) D0  +  b3(t) P1
= P0 at t=0, tangent --> C0
= P1 at t=1,  tangent <-- D0

并查找或导出通过 P-1 P0 P1 P2 的插值 aka Catmull-Rom 样条：

b0(t) P0
+ b1(t) (P0 + (P1 - P-1) / 6)
+ b2(t) (P1 - (P2 - P0) / 6)
+ b3(t) P1
= P0 at t=0, P1 at t=1

我们希望 bezier4(t) 与 CatmullRom(t) 的曲线完全相同，因此：

C0 = P0 + (P1 - P-1) / 6
D0 = P1 - (P2 - P0) / 6

给定 N 个点 P0 P1 ...（在 2d 3d ... anyd 中），一次取 4 个；对于每 4 个，该公式为您提供 2 个控制点 Cj、Dj

bezier4( nstep, Pj, Cj, Dj, Pj+1 )

这有意义吗，是你想要的吗？
（为了赏金，我会把一些 Python / numpy 拼凑在一起。）