determinants - 在给定扩展的情况下找到行列式

Question

我想知道是否有人能想到一个包含 a 和 b（以及其他实数）的 3×3 行列式，其展开式为 ab(a + b)^2。可能会有很多可能性，但只有一种可能。谢谢。

Answer 1

如果你的意思是

“有一个 3X3 矩阵，其中包含 a 和 b 以及其他数字。矩阵的行列式 = ab(a + b)^2”

那么我的答案是（对于 a=1，b=2）

a    b    0
1   -2    6
1    3   -6

= 18 这是 ab(a + b)^2

Answer 2

对角矩阵提供了一个快速的解决方案：

a  0  0
0  b  0
0  0 (a+b)^2

这是因为对角矩阵的行列式是沿对角线的数字的乘积。

对于三角矩阵也是如此，因此对于x,y,z,以下每个工作的任何选择：

a  x  y
0  b  z
0  0 (a+b)^2

a  0  0
x  b  0
y  z (a+b)^2

这表明（毫不奇怪）有无限多的解决方案。如果你想要一个非三角形的解决方案，让你的矩阵是形式的两个矩阵的乘积

a  x  y
0  b  z
0  0  1

和

1   0   0
w  a+b  0
u   v  a+b

这将起作用，因为det(AB) = det(A)*det(B)第一个矩阵的行列式是ab，而第二个矩阵的行列式是(a+b)^2