matlab - Matlab - 生成随机非奇异三角矩阵

Question

如何生成随机三角矩阵？（上下）

通常我使用rand(n)，但如果我尝试tril(rand(n))它会是单数的，我不想要那样。

Answer 1

你的答案是正确的：

 A=tril(rand(n))

你可以检查这个矩阵不是奇异的使用

 rcond(A)>eps

或者

 min(svd(A))>eps

并验证最小奇异值是否大于 eps 或与您的需求相关的任何其他数值公差。（代码将返回 1 或 0）。因为n>50您将开始处理奇异矩阵。

这是一个关于矩阵如何以其大小接近奇点的小分析......

Answer 2

如果你想要一个条件良好的随机三角矩阵，你可以用A = rand( n )取A ²的三角形部分。因此，任何大小n的triu( A * A )条件良好，但矩阵-矩阵乘法当然具有复杂性O(n ³ )。

Answer 3

好了，关于三角矩阵奇点的想法就说到这里。三角矩阵的行列式决定了奇异性，因为在构建逆矩阵时它会进入分母。三角矩阵的性质是行列式等于对角元素的乘积。

所以对于矩阵NxN，我们在对角线上有 iid U(0,1) 数的乘积。显然，行列式会随着N增加而减少，因为所有数字都<1，并且您拥有的数字越多，产品（也称为行列式）的价值就越小。

有趣的是，检查 det=X ₁ X ₂ ...*X _N的平均值将下降为 2 ^-N，因为产品中的每个项都是 U(0,1)，平均值为 1/2，并且它们都是 iid 替代检查是从产品 PDF 计算平均值（请参阅https://math.stackexchange.com/questions/659254/product-distribution-of-two-uniform-distribution-what-about-3-or- more )，实际上，它会给你完全相同的结果， 2 ^-N。也可以计算行列式的方差，即第二动量减去均方，它等于 (3 ^-N -4 ^-N )。

请注意，这些是平均值，您可以平均预期，例如，如果您对 N=100 的 10 ^{6 个}三角矩阵进行采样，计算它们的行列式并将其平均，您应该会发现它非常接近 2 ^-100。

这就是问题所在。平均而言，三角随机矩阵随着 的增长呈指数增长N。2 ^-10大约等于 1/1,000。2 ^-20大约等于 1/1,000,000。对于 N = 100，它应该平均约为 10 ^-30左右，这使得整个练习没有意义。

不幸的是，除了这个简单的分析，我无法提供任何东西。