我有两个正方形，S1 = (x1,y1,x2,y2) 和 S2 = (a1,b1,a2,b2)
我正在寻找 A * S1 = S2 的转换矩阵
据我所知，A 是一个 3x3 仿射矩阵，所以我有 9 个未知值。
如何计算这些值？
谢谢，最好的，维克多
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这里实际上只有四个未知值。旋转角度、比例因子和 x 和 y 平移。在您的三乘三矩阵中，最下面一行总是0,0,1将您减少到六个未知数。右手栏将Tx,Ty,1是您的翻译（以及我们已经知道的 1）。
剩下的两乘二“矩阵”将是您的旋转和缩放。这将（在我脑海中）类似于：
ACos(B), -Asin(B)
ASin(B), aCos(B)
所以总的来说：
ACos(B), -Asin(B), Tx
ASin(B), ACos(B), Ty
0 , 0 , 1
你用每个坐标末尾的 1 来扩展你的坐标矩阵，得到 2x3 矩阵，然后它们相乘得到你需要求解四个变量的四个方程。这留给读者作为练习。
于 2010-07-09T12:56:11.683 回答
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变换矩阵是缩放矩阵Ss、转移矩阵St和旋转矩阵Sr的因子。
假设旧点是 Po 是 (Xo,Yo) 并且向量将表示为 (Xo Yo 1)' 与新点 Pn 相同 那么 Pnv =Ss St SrPov 其中 Sx 是
Sx 0 0
0 Sy 0
0 0 1
圣是
1 0 Tx
0 1 Ty
0 0 1
锶
Cos(th) -Sin(th) 0
Sin(th) Cos(th) 0
0 0 1
现在回到你的问题。如果两个点代表一个矩形，我们可以找到两个矩阵的参数，第三个将是一个单位矩阵。
Rect1 表示为左上点 P11 和右下点 P12 Rect2 表示为左上点 P21 和右下点 P22
S=Ss*St
Sx 0 Tx
0 Sy Ty
0 0 1
现在你有 4 个缺失的参数和 4 组方程
P21=S*P11
P22=S*P12
X[P21] =Sx*X[P11]+Tx
Y[P21] =Sy*Y[P11]+Ty
X[P22] =Sx*X[P12]+Tx
Y[P22] =Sy*Y[P12]+Ty
解决它，你就会得到答案。
如果你有过渡和旋转，那么 S=Sr*St。
Cos(th) -Sin(th) Tx
Sin(th) Cos(th) Ty
0 0 1
现在你有 3 个缺失的参数和 4 组方程
P21=S*P11
P22=S*P12
X[P21] =Cos(th)*X[P11]-Sin(th)*Y[P11]+Tx
Y[P21] =Sin(th)*X[P11]+Cos(th)*Y[P11]+Ty
X[P22] =Cos(th)*X[P11]-Sin(th)*Y[P12]+Tx
Y[P22] =Sin(th)*X[P11]+Cos(th)*Y[P12]+Ty
将 Cos(th) 替换为 A 并将 Sin(th) 替换为 B 并求解方程。
X[P21] =A*X[P11]-B*Y[P11]+Tx
Y[P21] =B*X[P11]+A*Y[P11]+Ty
X[P22] =A*X[P11]-B*Y[P12]+Tx
Y[P22] =B*X[P11]+A*Y[P12]+Ty
检查它是否正确A^2+B^2 =? 1如果是真的那么th = aCos(A)
解决方案的最后一部分，如果你将拥有所有三个矩阵，那么 S=Sr St Ss 是
Sx*sin(th) -Sx*cos(th) Tx
Sy*cos(th) Sy*sin(th) Ty
0 0 1
现在我们有 5 个缺失变量，我们需要 6 个不同的方程组来解决它。这意味着每个矩形的平均 3 个点。
于 2010-07-09T18:39:54.170 回答
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如何计算这些值？
当应用于 2d/3d 变换时，矩阵可以表示为一个坐标系，除非我们在谈论投影。
矩阵行（或列，取决于符号）形成新坐标系的轴，如果每个对象顶点都乘以矩阵，则将放置对象。最后一行（或列，取决于符号）指向新坐标系的中心。
标准 OpenGL/DirectX 变换矩阵（不是投影矩阵）：
class Matrix{//C++ code
public:
union{
float f[16];
float m[4][4];
};
};
可以表示为4个向量vx（新坐标系的x轴）、vy（新坐标系的y轴）、vz（新坐标系的z轴）和vp（新坐标系的中心）的组合. 像这样：
vx.x vx.y vx.z 0
vy.x vy.y vy.z 0
vz.x vz.y vz.z 0
vp.x vp.y vp.z 1
所有“计算旋转矩阵”、“计算比例矩阵”等都归结为这个想法。
因此，对于 2d 矩阵，您将拥有由 3 个向量组成的 3x3 矩阵 - vx、vy、vp，因为 2d 中没有 z 向量。IE：
vx.x vx.y 0
vy.x vy.y 0
vp.x vp.y 1
要找到将四边形 A 转换为四边形 B 的变换，您需要找到两个变换：
- 将四边形 A 移动到原点（即零点）的变换，并将其转换为固定大小的四边形。比如说，四边形（矩形），它的一个顶点 x = 0, y = 0，其顶点位于 (0, 1), (1, 0), (1, 1)。
- 将固定大小的四边形转换为四边形 B 的变换。
如果四边形的相对边缘不平行，则不能这样做。即平行四边形很好，但随机的 4 边多边形不是。
四边形可以由基点 (vp) 表示，该基点可以是四边形的任何顶点和定义四边形大小的两个向量（边的方向乘以边的长度）。即“上”向量和“侧”向量。这使它成为一个矩阵：
side.x side.y 0
up.x up.y 0
vp.x vp.y 1
因此，将四边形 (vp.x = 0, vp.y = 0, side.x = 1, side.y = 0, up.x = 0, up.y = 1) 乘以该矩阵会将原始四边形变为你的四边形。这意味着，为了将四边形 A 转换为四边形 B，您需要执行以下操作：
1）制作一个矩阵，将“base 1unit quad”转换为quad A。我们称之为matA。
2）制作一个矩阵，将“base 1 unit quad”转换为quad B。我们称之为matB。
3）反转matA并将结果存储到invMatA中。
4）结果矩阵为invMatA * matB。
完毕。如果将四边形 A 与结果矩阵相乘，您将得到四边形 B。如果四边形的宽度或高度为零，则这将不起作用，如果四边形不是平行四边形，则它将不起作用。
这很难理解，但我不能让它更简单。
于 2010-07-11T18:06:14.973 回答
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你是什么意思S1 = (x1,y1,x2,y2)？
它们代表正方形的左上角和右下角吗？
此外，您能否保证正方形之间只有旋转，或者您是否需要允许缩放、倾斜和平移的完整仿射变换？
还是您还需要透视变换？
仅当它是透视变换时，您才需要像您在帖子中提到的那样具有 8 个自由度的 3x3 矩阵。
于 2010-07-09T12:26:43.043 回答