math - N维空间中一组点的数学表示？

Question

给定 N 维空间中的一些 x 数据点，我试图找到一个可以描述这些 x 点的任何子集的固定长度表示？例如，s 子集的均值可以描述该子集，但它不是仅对该子集唯一的，也就是说，空间中的其他点可以产生相同的均值，因此均值不是唯一标识符。谁能告诉我一个可以描述点而不依赖于点数的独特度量？

Answer 1

简而言之-这是不可能的（因为您将实现无限的无噪声压缩）。您必须具有不同的长度表示（或长度与最大点数成比例的固定长度）或处理“碰撞”（因为您的映射不会是单射的）。在第一种情况下，您只需存储每个点的坐标。在第二个中，您使用越来越复杂的描述符来近似您的点云以平衡碰撞和内存使用，一些可能性是：

• 存储均值和协方差（因此基本上对高斯族进行最大似然估计）
• 执行一些固定复杂度的密度估计，如高斯混合模型或训练生成神经网络
• 使用一组简单的几何/代数属性，例如：
  • 点数
  • 每对点之间的均值、最大值、最小值、中值距离
  • 等等

Answer 2

任何子集都可以通过长度为 的位掩码来标识，如果相应的元素属于该子集，则ceiling(lg(x))位i为 1。没有不是x函数的固定长度表示。

编辑

我错了。PCA是针对这个问题执行降维的好方法，但它不适用于某些集合。

但是，您几乎可以做到。其中“几乎”由Johnson-Lindenstrauss 引理正式定义，它指出对于给定的大维度N，存在一个低得多的维度n ，以及将每个点从N映射到n的线性变换，同时保持欧几里得距离在集合的每对点之间，在原始误差ε内。这种线性变换称为 JL 变换。

换句话说，您的问题仅可解决每对点至少相隔ε的点集。对于这种情况，JL 变换为您提供了一种可能的解决方案。此外， N、n和ε之间存在关系（参见引理），例如，如果N =100，则 JL 变换可以将每个点映射到 5D（n =5）中的一个点，这是唯一标识每个子集，当且仅当原始集合中任何一对点之间的最小距离至少为~2.8（即点足够不同）。

请注意，n仅取决于N和原始集中任何一对点之间的最小距离。它不取决于点x的数量，因此它可以解决您的问题，尽管有一些限制。