r - 从带噪声的高维球体中采样

Question

我想从带有噪声的高维球体中生成一个向量样本。

IE 我正在尝试创建一个样本，使得任何向量 X 在 R^N 中并保持 ||X+epsilon||^2 = 1 其中 epsilon 是 R^N 中的 iid 向量，其中任何分量 epsilon_j 分布 N( 0，西格玛^2）。

有人知道如何实现它吗？我更喜欢使用 R。

谢谢！

Answer 1

我认为这应该有效。它可以很容易地变成一个函数。

d = 5         # number of dimensions
n_draws = 100 # number of draws
sigma = 0.2   # standard deviation

我首先对应该均匀分布在单位球面上的随机向量进行采样。我通过对 d 维多元正态分布的绘图进行归一化来做到这一点。（这一步可能有更直接的方法，但我稍后会rmvnorm再次使用，所以这很方便。）我打电话给他们dirs是因为，因为我们正在标准化，我们在这一步中真正做的就是对“方向”进行采样”。

library(mvtnorm)
# sample
dirs = rmvnorm(n = n_draws, mean = rep(0, d))
# normalize
dirs = dirs / sqrt(rowSums(dirs^2))

现在我们从多元法线中再次绘制以添加噪声。

x = dirs + rmvnorm(n = n_draws, mean = rep(0, d), sigma = sigma * diag(d))

要将其映射到您在问题中使用的变量，请定义 Y = X + epsilon。我dirs的是Y，那么我加的噪音是-epsilon；添加它们会产生您要求的 X。