我正在使用 .NET 4 的System.Numerics.BigInteger 结构。
我需要计算非常大的数的平方 (x 2 ) -数百万个十进制数字。
如果x是BigInteger，时间复杂度是多少：
x*x;
或者
BigInteger.Pow(x,2);
?
如何使用 .NET 4 BigInteger 以最快的方式将如此大的数字相乘？是否有Schönhage–Strassen 算法的实现？
问问题
2837 次
5 回答
7
这取决于你的数字有多大。正如维基百科页面告诉你的那样：
在实践中，对于超过 2 2 15到 2 2 17（10,000 到 40,000 个十进制数字）的数字，Schönhage-Strassen 算法开始优于旧方法，例如 Karatsuba 和 Toom-Cook 乘法。
System.Numerics.BigInteger根据数字的大小，使用Karatsuba 算法或标准教科书乘法。Karatsuba 的时间复杂度为 O( n log 2 3 )。但是如果你的数字小于上面引用的数字，那么你可能不会看到实施 Schönhage-Strassen 的速度有很大提高。
至于Pow()这本身在计算过程中至少将数字平方一次（并且它通过简单地这样做来做到这num * num一点 - 所以我认为这也不会更有效。
于 2010-06-17T22:14:17.610 回答
3
这里有一个 Schönhage-Strassen 实现：
于 2011-12-13T04:18:19.433 回答
2
- 首先，
System.Numerics.BigInteger不使用 O(n 0.5 ) 的 [Karatsuba 算法]，它使用标准教科书乘法 O(n 2 )。 通过此代码，您可以在 1.4 毫秒内多个两个 30,000 位（大约 9000 个十进制数字）。
public void benchMark() { Xint U, V,Temp; int n = 30000; while (n > 29000) { U = RND(n << 1); //_______________________ sw.Restart(); Temp = U * U; sw.Stop(); label7.Text = Convert.ToString("Micro " + sw.Elapsed.TotalMilliseconds + " ms"); //_______________________ } n>>=1; } public static Xint MTP(Xint U, Xint V) { return MTP(U, V, Xint.Max(U.Sign * U, V.Sign * V).ToByteArray().Length << 3); } public static Xint MTP(Xint U, Xint V, int n) { if (n <= 3000) return U * V; if (n <= 6000) return TC2(U, V, n); if (n <= 10000) return TC3(U, V, n); if (n <= 40000) return TC4(U, V, n); return TC2P(U, V, n); } private static Xint MTPr(Xint U, Xint V, int n) { if (n <= 3000) return U * V; if (n <= 6000) return TC2(U, V, n); if (n <= 10000) return TC3(U, V, n); return TC4(U, V, n); } private static Xint TC2(Xint U1, Xint V1, int n) { n >>= 1; Xint Mask = (Xint.One << n) - 1; Xint U0 = U1 & Mask; U1 >>= n; Xint V0 = V1 & Mask; V1 >>= n; Xint P0 = MTPr(U0, V0, n); Xint P2 = MTPr(U1, V1, n); return ((P2 << n) + (MTPr(U0 + U1, V0 + V1, n) - (P0 + P2)) << n) + P0; } private static Xint TC3(Xint U2, Xint V2, int n) { n = (int)((long)(n) * 0x55555556 >> 32); // n /= 3; Xint Mask = (Xint.One << n) - 1; Xint U0 = U2 & Mask; U2 >>= n; Xint U1 = U2 & Mask; U2 >>= n; Xint V0 = V2 & Mask; V2 >>= n; Xint V1 = V2 & Mask; V2 >>= n; Xint W0 = MTPr(U0, V0, n); Xint W4 = MTPr(U2, V2, n); Xint P3 = MTPr((((U2 << 1) + U1) << 1) + U0, (((V2 << 1) + V1 << 1)) + V0, n); U2 += U0; V2 += V0; Xint P2 = MTPr(U2 - U1, V2 - V1, n); Xint P1 = MTPr(U2 + U1, V2 + V1, n); Xint W2 = (P1 + P2 >> 1) - (W0 + W4); Xint W3 = W0 - P1; W3 = ((W3 + P3 - P2 >> 1) + W3) / 3 - (W4 << 1); Xint W1 = P1 - (W4 + W3 + W2 + W0); return ((((W4 << n) + W3 << n) + W2 << n) + W1 << n) + W0; } private static Xint TC4(Xint U3, Xint V3, int n) { n >>= 2; Xint Mask = (Xint.One << n) - 1; Xint U0 = U3 & Mask; U3 >>= n; Xint U1 = U3 & Mask; U3 >>= n; Xint U2 = U3 & Mask; U3 >>= n; Xint V0 = V3 & Mask; V3 >>= n; Xint V1 = V3 & Mask; V3 >>= n; Xint V2 = V3 & Mask; V3 >>= n; Xint W0 = MTPr(U0, V0, n); // 0 U0 += U2; U1 += U3; V0 += V2; V1 += V3; Xint P1 = MTPr(U0 + U1, V0 + V1, n); // 1 Xint P2 = MTPr(U0 - U1, V0 - V1, n); // -1 U0 += 3 * U2; U1 += 3 * U3; V0 += 3 * V2; V1 += 3 * V3; Xint P3 = MTPr(U0 + (U1 << 1), V0 + (V1 << 1), n); // 2 Xint P4 = MTPr(U0 - (U1 << 1), V0 - (V1 << 1), n); // -2 Xint P5 = MTPr(U0 + 12 * U2 + ((U1 + 12 * U3) << 2), V0 + 12 * V2 + ((V1 + 12 * V3) << 2), n); // 4 Xint W6 = MTPr(U3, V3, n); // inf Xint W1 = P1 + P2; Xint W4 = (((((P3 + P4) >> 1) - (W1 << 1)) / 3 + W0) >> 2) - 5 * W6; Xint W2 = (W1 >> 1) - (W6 + W4 + W0); P1 = P1 - P2; P4 = P4 - P3; Xint W5 = ((P1 >> 1) + (5 * P4 + P5 - W0 >> 4) - ((((W6 << 4) + W4) << 4) + W2)) / 45; W1 = ((P4 >> 2) + (P1 << 1)) / 3 + (W5 << 2); Xint W3 = (P1 >> 1) - (W1 + W5); return ((((((W6 << n) + W5 << n) + W4 << n) + W3 << n) + W2 << n) + W1 << n) + W0; } private static Xint TC2P(Xint A, Xint B, int n) { n >>= 1; Xint Mask = (Xint.One << n) - 1; Xint[] U = new Xint[3]; U[0] = A & Mask; A >>= n; U[2] = A; U[1] = U[0] + A; Xint[] V = new Xint[3]; V[0] = B & Mask; B >>= n; V[2] = B; V[1] = V[0] + B; Xint[] P = new Xint[3]; Parallel.For(0, 3, (int i) => P[i] = MTPr(U[i], V[i], n)); return ((P[2] << n) + P[1] - (P[0] + P[2]) << n) + P[0]; } private static long current_n; private static Xint Product(int n) { if (n > 2) return MTP(Product(n - (n >>= 1)), Product(n)); if (n > 1) return (current_n += 2) * (current_n += 2); return current_n += 2; } public static Xint[] DQR(Xint A, Xint B) { int n = bL(B); int m = bL(A) - n; if (m <= 6000) return SmallDivRem(A, B); int signA = A.Sign; A *= signA; int signB = B.Sign; B *= signB; Xint[] QR = new Xint[2]; if (m <= n) QR = D21(A, B, n); else { Xint Mask = (Xint.One << n) - 1; m /= n; Xint[] U = new Xint[m]; int i = 0; for (; i < m; i++) { U[i] = A & Mask; A >>= n; } QR = D21(A, B, n); A = QR[0]; for (i--; i >= 0; i--) { QR = D21(QR[1] << n | U[i], B, n); A = A << n | QR[0]; } QR[0] = A; } QR[0] *= signA * signB; QR[1] *= signA; return QR; } private static Xint[] SmallDivRem(Xint A, Xint B) { Xint[] QR = new Xint[2]; QR[0] = Xint.DivRem(A, B, out QR[1]); return QR; } private static Xint[] D21(Xint A, Xint B, int n) { if (n <= 6000) return SmallDivRem(A, B); int s = n & 1; A <<= s; B <<= s; n++; n >>= 1; Xint Mask = (Xint.One << n) - 1; Xint B1 = B >> n; Xint B2 = B & Mask; Xint[] QR1 = D32(A >> (n << 1), A >> n & Mask, B, B1, B2, n); Xint[] QR2 = D32(QR1[1], A & Mask, B, B1, B2, n); QR2[0] |= QR1[0] << n; QR2[1] >>= s; return QR2; } private static Xint[] D32(Xint A12, Xint A3, Xint B, Xint B1, Xint B2, int n) { Xint[] QR = new Xint[2]; if ((A12 >> n) != B1) QR = D21(A12, B1, n); else { QR[0] = (Xint.One << n) - 1; QR[1] = A12 + B1 - (B1 << n); } QR[1] = (QR[1] << n | A3) - MTP(QR[0], B2, n); while (QR[1] < 0) { QR[0] -= 1; QR[1] += B; } return QR; } public static Xint SQ(Xint U) { return SQ(U, U.Sign * U.ToByteArray().Length << 3); } public static Xint SQ(Xint U, int n) { if (n <= 700) return U * U; if (n <= 3000) return Xint.Pow(U, 2); if (n <= 6000) return SQ2(U, n); if (n <= 10000) return SQ3(U, n); if (n <= 40000) return SQ4(U, n); return SQ2P(U, n); } private static Xint SQr(Xint U, int n) { if (n <= 3000) return Xint.Pow(U, 2); if (n <= 6000) return SQ2(U, n); if (n <= 10000) return SQ3(U, n); return SQ4(U, n); } private static Xint SQ2(Xint U1, int n) { n >>= 1; Xint U0 = U1 & ((Xint.One << n) - 1); U1 >>= n; Xint P0 = SQr(U0, n); Xint P2 = SQr(U1, n); return ((P2 << n) + (SQr(U0 + U1, n) - (P0 + P2)) << n) + P0; } private static Xint SQ3(Xint U2, int n) { n = (int)((long)(n) * 0x55555556 >> 32); Xint Mask = (Xint.One << n) - 1; Xint U0 = U2 & Mask; U2 >>= n; Xint U1 = U2 & Mask; U2 >>= n; Xint W0 = SQr(U0, n); Xint W4 = SQr(U2, n); Xint P3 = SQr((((U2 << 1) + U1) << 1) + U0, n); U2 += U0; Xint P2 = SQr(U2 - U1, n); Xint P1 = SQr(U2 + U1, n); Xint W2 = (P1 + P2 >> 1) - (W0 + W4); Xint W3 = W0 - P1; W3 = ((W3 + P3 - P2 >> 1) + W3) / 3 - (W4 << 1); Xint W1 = P1 - (W4 + W3 + W2 + W0); return ((((W4 << n) + W3 << n) + W2 << n) + W1 << n) + W0; } private static Xint SQ4(Xint U3, int n) { n >>= 2; Xint Mask = (Xint.One << n) - 1; Xint U0 = U3 & Mask; U3 >>= n; Xint U1 = U3 & Mask; U3 >>= n; Xint U2 = U3 & Mask; U3 >>= n; Xint W0 = SQr(U0, n); // 0 U0 += U2; U1 += U3; Xint P1 = SQr(U0 + U1, n); // 1 Xint P2 = SQr(U0 - U1, n); // -1 U0 += 3 * U2; U1 += 3 * U3; Xint P3 = SQr(U0 + (U1 << 1), n); // 2 Xint P4 = SQr(U0 - (U1 << 1), n); // -2 Xint P5 = SQr(U0 + 12 * U2 + ((U1 + 12 * U3) << 2), n); // 4 Xint W6 = SQr(U3, n); // inf Xint W1 = P1 + P2; Xint W4 = (((((P3 + P4) >> 1) - (W1 << 1)) / 3 + W0) >> 2) - 5 * W6; Xint W2 = (W1 >> 1) - (W6 + W4 + W0); P1 = P1 - P2; P4 = P4 - P3; Xint W5 = ((P1 >> 1) + (5 * P4 + P5 - W0 >> 4) - ((((W6 << 4) + W4) << 4) + W2)) / 45; W1 = ((P4 >> 2) + (P1 << 1)) / 3 + (W5 << 2); Xint W3 = (P1 >> 1) - (W1 + W5); return ((((((W6 << n) + W5 << n) + W4 << n) + W3 << n) + W2 << n) + W1 << n) + W0; } private static Xint SQ2P(Xint A, int n) { n >>= 1; Xint[] U = new Xint[3]; U[0] = A & ((Xint.One << n) - 1); A >>= n; U[2] = A; U[1] = U[0] + A; Xint[] P = new Xint[3]; Parallel.For(0, 3, (int i) => P[i] = SQr(U[i], n)); return ((P[2] << n) + P[1] - (P[0] + P[2]) << n) + P[0]; } public static Xint POW(Xint X, int y) { if (y > 1) return ((y & 1) == 1) ? SQ(POW(X, y >> 1)) * X : SQ(POW(X, y >> 1)); if (y == 1) return X; return 1; } public static Xint[] SR(Xint A) { return SR(A, bL(A)); } public static Xint[] SR(Xint A, int n) { if (n < 53) return SR52(A); int m = n >> 2; Xint Mask = (Xint.One << m) - 1; Xint A0 = A & Mask; A >>= m; Xint A1 = A & Mask; A >>= m; Xint[] R = SR(A, n - (m << 1)); Xint[] D = DQR(R[1] << m | A1, R[0] << 1); R[0] = (R[0] << m) + D[0]; R[1] = (D[1] << m | A0) - SQ(D[0], m); if (R[1] < 0) { R[0] -= 1; R[1] += (R[0] << 1) | 1; } return R; } private static Xint[] SR52(Xint A) { double a = (double)A; long q = (long)Math.Sqrt(a); long r = (long)(a) - q * q; Xint[] QR = { q, r }; return QR; } public static Xint SRO(Xint A) { return SRO(A, bL(A)); } public static Xint SRO(Xint A, int n) { if (n < 53) return (int)Math.Sqrt((double)A); Xint[] R = SROr(A, n, 1); return R[0]; } private static Xint[] SROr(Xint A, int n, int rc) // rc=recursion counter { if (n < 53) return SR52(A); int m = n >> 2; Xint Mask = (Xint.One << m) - 1; Xint A0 = A & Mask; A >>= m; Xint A1 = A & Mask; A >>= m; Xint[] R = SROr(A, n - (m << 1), rc + 1); Xint[] D = DQR((R[1] << m) | A1, R[0] << 1); R[0] = (R[0] << m) + D[0]; rc--; if (rc != 0) { R[1] = (D[1] << m | A0) - SQ(D[0], m); if (R[1] < 0) { R[0] -= 1; R[1] += (R[0] << 1) | 1; } return R; } n = (bL(D[0]) << 1) - bL(D[1] << m | A0); if (n < 0) return R; if (n > 1) { R[0] -= 1; return R; } int shift = (bL(D[0]) - 31) << 1; long d0 = (int)(D[0] >> (shift >> 1)); long d = (long)((D[1] >> (shift - m)) | (A0 >> shift)) - d0 * d0; if (d < 0) { R[0] -= 1; return R; } if (d > d0 << 1) return R; R[0] -= (1 - (((D[1] << m) | A0) - SQ(D[0], m)).Sign) >> 1; return R; } public static int bL(Xint U) { byte[] bytes = (U.Sign * U).ToByteArray(); int i = bytes.Length - 1; return (i << 3) + bitLengthMostSignificantByte(bytes[i]); } private static int bitLengthMostSignificantByte(byte b) { return b < 08 ? b < 02 ? b < 01 ? 0 : 1 : b < 04 ? 2 : 3 : b < 32 ? b < 16 ? 4 : 5 : b < 64 ? 6 : 7; } public static int fL2(int i) { return i < 1 << 15 ? i < 1 << 07 ? i < 1 << 03 ? i < 1 << 01 ? i < 1 << 00 ? -1 : 00 : i < 1 << 02 ? 01 : 02 : i < 1 << 05 ? i < 1 << 04 ? 03 : 04 : i < 1 << 06 ? 05 : 06 : i < 1 << 11 ? i < 1 << 09 ? i < 1 << 08 ? 07 : 08 : i < 1 << 10 ? 09 : 10 : i < 1 << 13 ? i < 1 << 12 ? 11 : 12 : i < 1 << 14 ? 13 : 14 : i < 1 << 23 ? i < 1 << 19 ? i < 1 << 17 ? i < 1 << 16 ? 15 : 16 : i < 1 << 18 ? 17 : 18 : i < 1 << 21 ? i < 1 << 20 ? 19 : 20 : i < 1 << 22 ? 21 : 22 : i < 1 << 27 ? i < 1 << 25 ? i < 1 << 24 ? 23 : 24 : i < 1 << 26 ? 25 : 26 : i < 1 << 29 ? i < 1 << 28 ? 27 : 28 : i < 1 << 30 ? 29 : 30; } private static int seed; public static Xint RND(int n) { if (n < 2) return n; if (seed == int.MaxValue) seed = 0; else seed++; Random rand = new Random(seed); byte[] bytes = new byte[(n + 15) >> 3]; rand.NextBytes(bytes); int i = bytes.Length - 1; bytes[i] = 0; n = (i << 3) - n; i--; bytes[i] >>= n; bytes[i] |= (byte)(128 >> n); return new Xint(bytes); } //++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++} }
于 2014-11-14T10:41:06.810 回答
2
一种非常简单的实现方法是基于 FFT。由于将两个数字相乘相当于对它们的系数进行卷积，然后通过传递来消除进位，因此您应该能够通过 FFT 方法（n = 位数）在 O(n log n) 操作中进行卷积。
数字食谱对此有一个章节。对于如此大的数字，这绝对比分而治之的方法（如 Karatsuba）更快。
于 2010-06-24T10:38:22.357 回答