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我遇到了一个问题：我想计算三个圆的交集。据我所知，我应该使用所谓的三边测量。我已经用 C++ 实现了它。文章说这个解决方案有三个限制。

  1. 所有三个中心都在平面 z = 0 中，
  2. 球心 P1 位于原点，
  3. 球心 P2 在 x 轴上

至于第一个“标准”，我无事可做，因为所有三个中心都在平面 z = 0 中，因为我不使用 Z 坐标。之后，我将这些点平移到第一个点 (P1) 的中心位于原点的位置。之后，我将 P2（和 P3）点旋转到 P2 在 x 轴上的位置。

我的问题是：当三个中心都在X轴上时，我尝试计算交叉区域的中心（使用维基文章的算法计算），但无法计算。另一方面，没有限制说“圆的中心不能在一条线上......让我们直观地看到我的问题，我只是画了它：

三个圆的交点

如您所见，三个圆在 (4,3) 坐标处的同一点上相交。因此，对于这些点都在同一条线上（在本例中，在 x 轴上）有一个解决方案。圆的参数如下（x,y,radius）：

P1: (0,0,5)
P2: (4,0,3)
P3: (8,0,5)

正如我所提到的，我成功地实现了三边测量的算法，但它不能解决这个例子，结果是 NaN（不是数字）。当然，我已经用另一个圆圈（不在同一条线上）尝试了这个算法，它工作正常。

所以我开始调试我的实现，我发现问题可能出在哪里。我的实现如下：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <math.h> 
#include <vector>
std::ifstream infile("coordinateList.txt");
using namespace std;

std::vector<double> trilateration2D(double point1[], double point2[], double point3[], double r1, double r2, double r3) {
    std::vector<double> resultPose;
    //unit vector in a direction from point1 to point 2
    double p2p1Distance = pow(pow(point2[0]-point1[0],2) + pow(point2[1]-point1[1],2),0.5);
    double exx = (point2[0]-point1[0])/p2p1Distance;
    double exy = (point2[1]-point1[1])/p2p1Distance;

    //signed magnitude of the x component
    double ix = exx*(point3[0]-point1[0]);
    double iy = exy*(point3[1]-point1[1]);
    double i = ix+iy;
    //the unit vector in the y direction. 
    double eyx = (point3[0]-point1[0]-ix*exx)/pow(pow(point3[0]-point1[0]-ix*exx,2) + pow(point3[1]-point1[1]-iy*exy,2),0.5);
    double eyy = (point3[1]-point1[1]-iy*exy)/pow(pow(point3[0]-point1[0]-ix*exx,2) + pow(point3[1]-point1[1]-iy*exy,2),0.5);
    //the signed magnitude of the y component
    double jx = eyx*(point3[0]-point1[0]);
    double jy = eyy*(point3[1]-point1[1]);
    double j = jx + jy;
    //coordinates
    double x = (pow(r1,2) - pow(r2,2) + pow(p2p1Distance,2))/ (2 * p2p1Distance);
    double y = (pow(r1,2) - pow(r3,2) + pow(i,2) + pow(j,2))/(2*j) - i*x/j;
    //result coordinates
    double finalX = point1[0]+ x*exx + y*eyx;
    double finalY = point1[1]+ x*exy + y*eyy;
    resultPose.push_back(finalX);
    resultPose.push_back(finalY);
    return resultPose;
}
int main(int argc, char* argv[]){
    std::vector<double> finalPose;
    double p1[] = {0,0};
    double p2[] = {4,0};
    double p3[] = {8,0};
    double r1,r2,r3;
    r1 = 5;
    r2 =3;
    r3 = 5;
    finalPose = trilateration2D(p1,p2,p3,r1,r2,r3);
    cout<<"X:::  "<<finalPose[0]<<endl;
    cout<<"Y:::  "<<finalPose[1]<<endl;

}

当程序计算eyx和eyy时，除法中有零，不用说，除以零是“不允许的”。eyx和eyy是 y 方向上的单位向量，但是在这种圆的定位中，在 y 方向上没有单位向量。

我的问题是：这个算法有第四个限制吗？在我看来，它会写在文章中，所以：你能建议这个问题的其他解决方案，在所有点都在同一条线上的情况下可以计算交点吗？提前致谢！

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