numerical-methods - 用于 ODE 积分的隐式 Euler 方法

Question

对于熟悉该方法的人来说，众所周知，必须求解方程：

y(i+1) = y(i) + h*F( X(i+1), Y(i+1) )

然而，F 通常不是线性的，因此得到的方程通常对 y(i+1) 有许多不同的解。我们正在寻找哪种解决方案，例如，对 Newton-Raphson 方法会做些什么，以便找到正确的零？任何帮助表示赞赏。

Answer 1

通常您选择最接近y(i). 正确的解应该满足

y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)) + O(h²)

然而，对于刚性问题，常数 inO(h²)可能非常大，因此这种关系并不像看起来那么有用。

如果L是 Lipschitz 常数，f则q=L·h < 1迭代

k(j+1) = f(x(i+1), y(i)+h*k(j))

几何收敛，误差成正比q^j/(1-q)或更小。

这违反了僵硬问题，您使用 in 的JacobianJ进行迭代f(x(i+1),y(i))

k(j+1) = k(j) - (I-h*J)^(-1)*( k(j)-f( x(i+1), y(i)+h*k(j)) )

可能近似(I-h*J)^(-1)为I+h*J，请参见 Rosenbrock 方法。从k(0)=0或k(0)=f(x(i),y(i))应该几乎总是快速收敛到正确的解决方案。