math - J中的麦克劳林系列

Question

我正在尝试在 J 中实现 sine(x) 的级数扩展（我不担心准确性，但更多的是很好地表达级数的问题）。

到目前为止，我有以下显式版本，它使用 50 个项计算 sine(pi)：

3.14 (4 :'+/((_1^y) * (x^(1+2*y)) % !1+2*y)') i.50

但这似乎有些笨拙，有没有“更好”的版本（可能是默认的？）？

Answer 1

您想要一个奇数的幂和阶乘列表：l =: >:+:i. y( >:@+:@i.) 或者>:@+:如果您的 y 是i.。

然后，您需要幂 (x^l) 除以阶乘 (!l)。一种方法是将其视为 fork (x f y) h (x g y)-> (x ^ l) % (x (]!) l)→ (^ % (]!))。

最后一步是将这个系列乘以系列1, _1, 1, ...：_1 ^ y→_1&^

所以，最终的形式(_1 ^ y) * (x (^ * (]!)) (>:@+:@i.) y)是火车 (h y) j (x f (g y))→ (h y) j (x (f g) y)→ (x (]h) y) j (x (f g) y)→ (]h) j (f g)：

ms =: (] _1&^)  *   ((^ % (]!)) (>:@+:))
+/ 3.14 ms i.50 
0.00159265

或者

f =: +/@(ms i.)
3.14 f 50
0.00159265

另一方面，您可以使用T.泰勒近似值。

Answer 2

   3.14 (4 :'+/((_1^y) * (x^(1+2*y)) % !1+2*y)') i.50
0.00159265

默认版本可能如下所示：

   3.14 +/@:((_1 ^ ]) * ([ ^ 1 + +:@]) % !@(1 + +:@])) i.50
0.00159265

或这个：

   3.14 +/@:((_1 ^ ]) * ([ ^ >:@+:@]) % !@>:@+:@]) i.50
0.00159265

甚至这个：

   3.14 +/@:((_1 ^ ]) * (( ^  % !@])(>:@+:@]))) i.50
0.00159265

第一个和第二个几乎是默认翻译，最后一个使用钩子和叉子，除非您习惯它们，否则可能会有点多。