给定一个电话键盘，如下所示：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0
从1开始可以组成多少个不同的10位数字？约束是从一个数字到下一个数字的移动类似于国际象棋中马的移动。
例如。如果我们在 1，那么下一个数字可以是 6 或 8，如果我们在 6，那么下一个数字可以是 1、7 或 0。
允许重复数字 - 1616161616 是有效数字。
有没有解决这个问题的多项式时间算法？这个问题要求我们只给出 10 位数字的计数，而不必列出这些数字。
编辑：我尝试将其建模为一个图形，每个数字都有 2 或 3 个数字作为其邻居。然后我使用 DFS 导航到 10 个节点的深度，然后每次达到 10 的深度时增加数字计数。这显然不是多项式时间。假设每个数字只有 2 个邻居，这将需要至少 2^10 次迭代。
这里的变量是位数。我已经采取了例如。10 位数字。它也可以是 n 位数。
当然它可以在多项式时间内完成。这是动态编程或记忆化的极好练习。
例如，假设 N（位数）等于 10。
像这样递归地想它：我可以使用从 开始的 10 位数字构造多少个数字1？
答案是
[number of 9-digit numbers starting from 8] +
[number of 9-digit numbers starting from 6].
那么“从 8 开始的 9 位数字”有多少个呢？好，
[number of 8-digit numbers starting from 1] +
[number of 8-digit numbers starting from 3]
等等。当您收到“有多少个 1 位数字从X”开始的问题时，就达到了基本情况（答案显然是 1）。
当谈到复杂性时，关键的观察是你重用了以前计算的解决方案。例如， “有多少个 5 位数字从3”开始的答案，可以在回答“有多少个 6 位数字从8”开始和“有多少个 6 位数字开始”时都可以使用。从4" . 这种重用使复杂性从指数崩溃到多项式。
让我们仔细看看动态规划解决方案的复杂性：
这样的实现将通过以下方式填充矩阵：
num[1][i] = 1, for all 0<=i<=9 -- there are one 1-digit number starting from X.
for digits = 2...N
for from = 0...9
num[digits][from] = num[digits-1][successor 1 of from] +
num[digits-1][successor 2 of from] +
...
num[digits-1][successor K of from]
return num[N][1] -- number of N-digit numbers starting from 1.
该算法一次简单地填充矩阵一个单元格，矩阵的维度为 10*N，因此在线性时间中运行。
从头顶写下来，如果有任何错别字，请纠正我。
我决定解决这个问题并尽可能地使其具有可扩展性。该解决方案允许您：
定义自己的棋盘（电话板、棋盘等）
定义自己的棋子（Knight、Rook、Bishop 等）；您将必须编写具体类并从工厂生成它。
通过一些有用的实用方法检索几条信息。
课程如下：
PadNumber：定义电话板上的按钮的类。可以重命名为“Square”以表示棋盘方格。
ChessPiece：为所有棋子定义字段的抽象类。
运动：定义运动方法并允许工厂生成片段的接口。
PieceFactory：生成棋子的工厂类。
Knight：继承自 ChessPiece 并实现 Movement 的具体类
PhoneChess：入门级。
驱动程序：驱动程序代码。
好的，这是代码:)
package PhoneChess;
import java.awt.Point;
public class PadNumber {
private String number = "";
private Point coordinates = null;
public PadNumber(String number, Point coordinates)
{
if(number != null && number.isEmpty()==false)
this.number = number;
else
throw new IllegalArgumentException("Input cannot be null or empty.");
if(coordinates == null || coordinates.x < 0 || coordinates.y < 0)
throw new IllegalArgumentException();
else
this.coordinates = coordinates;
}
public String getNumber()
{
return this.number;
}
public Integer getNumberAsNumber()
{
return Integer.parseInt(this.number);
}
public Point getCoordinates()
{
return this.coordinates;
}
public int getX()
{
return this.coordinates.x;
}
public int getY()
{
return this.coordinates.y;
}
}
棋子
package PhoneChess;
import java.util.HashMap;
import java.util.List;
public abstract class ChessPiece implements Movement {
protected String name = "";
protected HashMap<PadNumber, List<PadNumber>> moves = null;
protected Integer fullNumbers = 0;
protected int[] movesFrom = null;
protected PadNumber[][] thePad = null;
}
运动界面：
package PhoneChess;
import java.util.List;
public interface Movement
{
public Integer findNumbers(PadNumber start, Integer digits);
public abstract boolean canMove(PadNumber from, PadNumber to);
public List<PadNumber> allowedMoves(PadNumber from);
public Integer countAllowedMoves(PadNumber from);
}
件厂
package PhoneChess;
public class PieceFactory
{
public ChessPiece getPiece(String piece, PadNumber[][] thePad)
{
if(thePad == null || thePad.length == 0 || thePad[0].length == 0)
throw new IllegalArgumentException("Invalid pad");
if(piece == null)
throw new IllegalArgumentException("Invalid chess piece");
if(piece.equalsIgnoreCase("Knight"))
return new Knight("Knight", thePad);
else
return null;
}
}
骑士级
package PhoneChess;
import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.List;
public final class Knight extends ChessPiece implements Movement {
/**Knight movements
* One horizontal, followed by two vertical
* Or
* One vertical, followed by two horizontal
* @param name
*/
public Knight(String name, PadNumber[][] thePad)
{
if(name == null || name.isEmpty() == true)
throw new IllegalArgumentException("Name cannot be null or empty");
this.name = name;
this.thePad = thePad;
this.moves = new HashMap<>();
}
private Integer fullNumbers = null;
@Override
public Integer findNumbers(PadNumber start, Integer digits)
{
if(start == null || "*".equals(start.getNumber()) || "#".equals(start.getNumber()) ) { throw new IllegalArgumentException("Invalid start point"); }
if(start.getNumberAsNumber() == 5) { return 0; } //Consider adding an 'allowSpecialChars' condition
if(digits == 1) { return 1; };
//Init
this.movesFrom = new int[thePad.length * thePad[0].length];
for(int i = 0; i < this.movesFrom.length; i++)
this.movesFrom[i] = -1;
fullNumbers = 0;
findNumbers(start, digits, 1);
return fullNumbers;
}
private void findNumbers(PadNumber start, Integer digits, Integer currentDigits)
{
//Base condition
if(currentDigits == digits)
{
//Reset
currentDigits = 1;
fullNumbers++;
return;
}
if(!this.moves.containsKey(start))
allowedMoves(start);
List<PadNumber> options = this.moves.get(start);
if(options != null)
{
currentDigits++; //More digits to be got
for(PadNumber option : options)
findNumbers(option, digits, currentDigits);
}
}
@Override
public boolean canMove(PadNumber from, PadNumber to)
{
//Is the moves list available?
if(!this.moves.containsKey(from.getNumber()))
{
//No? Process.
allowedMoves(from);
}
if(this.moves.get(from) != null)
{
for(PadNumber option : this.moves.get(from))
{
if(option.getNumber().equals(to.getNumber()))
return true;
}
}
return false;
}
/***
* Overriden method that defines each Piece's movement restrictions.
*/
@Override
public List<PadNumber> allowedMoves(PadNumber from)
{
//First encounter
if(this.moves == null)
this.moves = new HashMap<>();
if(this.moves.containsKey(from))
return this.moves.get(from);
else
{
List<PadNumber> found = new ArrayList<>();
int row = from.getY();//rows
int col = from.getX();//columns
//Cases:
//1. One horizontal move each way followed by two vertical moves each way
if(col-1 >= 0 && row-2 >= 0)//valid
{
if(thePad[row-2][col-1].getNumber().equals("*") == false &&
thePad[row-2][col-1].getNumber().equals("#") == false)
{
found.add(thePad[row-2][col-1]);
this.movesFrom[from.getNumberAsNumber()] = this.movesFrom[from.getNumberAsNumber()] + 1;
}
}
if(col-1 >= 0 && row+2 < thePad.length)//valid
{
if(thePad[row+2][col-1].getNumber().equals("*") == false &&
thePad[row+2][col-1].getNumber().equals("#") == false)
{
found.add(thePad[row+2][col-1]);
this.movesFrom[from.getNumberAsNumber()] = this.movesFrom[from.getNumberAsNumber()] + 1;
}
}
if(col+1 < thePad[0].length && row+2 < thePad.length)//valid
{
if(thePad[row+2][col+1].getNumber().equals("*") == false &&
thePad[row+2][col+1].getNumber().equals("#") == false)
{
found.add(thePad[row+2][col+1]);
this.movesFrom[from.getNumberAsNumber()] = this.movesFrom[from.getNumberAsNumber()] + 1;
}
}
if(col+1 < thePad[0].length && row-2 >= 0)//valid
{
if(thePad[row-2][col+1].getNumber().equals("*") == false &&
thePad[row-2][col+1].getNumber().equals("#") == false)
found.add(thePad[row-2][col+1]);
}
//Case 2. One vertical move each way follow by two horizontal moves each way
if(col-2 >= 0 && row-1 >= 0)
{
if(thePad[row-1][col-2].getNumber().equals("*") == false &&
thePad[row-1][col-2].getNumber().equals("#") == false)
found.add(thePad[row-1][col-2]);
}
if(col-2 >= 0 && row+1 < thePad.length)
{
if(thePad[row+1][col-2].getNumber().equals("*") == false &&
thePad[row+1][col-2].getNumber().equals("#") == false)
found.add(thePad[row+1][col-2]);
}
if(col+2 < thePad[0].length && row-1 >= 0)
{
if(thePad[row-1][col+2].getNumber().equals("*") == false &&
thePad[row-1][col+2].getNumber().equals("#") == false)
found.add(thePad[row-1][col+2]);
}
if(col+2 < thePad[0].length && row+1 < thePad.length)
{
if(thePad[row+1][col+2].getNumber().equals("*") == false &&
thePad[row+1][col+2].getNumber().equals("#") == false)
found.add(thePad[row+1][col+2]);
}
if(found.size() > 0)
{
this.moves.put(from, found);
this.movesFrom[from.getNumberAsNumber()] = found.size();
}
else
{
this.moves.put(from, null); //for example the Knight cannot move from 5 to anywhere
this.movesFrom[from.getNumberAsNumber()] = 0;
}
}
return this.moves.get(from);
}
@Override
public Integer countAllowedMoves(PadNumber from)
{
int start = from.getNumberAsNumber();
if(movesFrom[start] != -1)
return movesFrom[start];
else
{
movesFrom[start] = allowedMoves(from).size();
}
return movesFrom[start];
}
@Override
public String toString()
{
return this.name;
}
}
PhoneChess 参赛班
package PhoneChess;
public final class PhoneChess
{
private ChessPiece thePiece = null;
private PieceFactory factory = null;
public ChessPiece ThePiece()
{
return this.thePiece;
}
public PhoneChess(PadNumber[][] thePad, String piece)
{
if(thePad == null || thePad.length == 0 || thePad[0].length == 0)
throw new IllegalArgumentException("Invalid pad");
if(piece == null)
throw new IllegalArgumentException("Invalid chess piece");
this.factory = new PieceFactory();
this.thePiece = this.factory.getPiece(piece, thePad);
}
public Integer findPossibleDigits(PadNumber start, Integer digits)
{
if(digits <= 0)
throw new IllegalArgumentException("Digits cannot be less than or equal to zero");
return thePiece.findNumbers(start, digits);
}
public boolean isValidMove(PadNumber from, PadNumber to)
{
return this.thePiece.canMove(from, to);
}
}
驱动程序代码：
public static void main(String[] args) {
PadNumber[][] thePad = new PadNumber[4][3];
thePad[0][0] = new PadNumber("1", new Point(0,0));
thePad[0][1] = new PadNumber("2", new Point(1,0));
thePad[0][2] = new PadNumber("3",new Point(2,0));
thePad[1][0] = new PadNumber("4",new Point(0,1));
thePad[1][1] = new PadNumber("5",new Point(1,1));
thePad[1][2] = new PadNumber("6", new Point(2,1));
thePad[2][0] = new PadNumber("7", new Point(0,2));
thePad[2][1] = new PadNumber("8", new Point(1,2));
thePad[2][2] = new PadNumber("9", new Point(2,2));
thePad[3][0] = new PadNumber("*", new Point(0,3));
thePad[3][1] = new PadNumber("0", new Point(1,3));
thePad[3][2] = new PadNumber("#", new Point(2,3));
PhoneChess phoneChess = new PhoneChess(thePad, "Knight");
System.out.println(phoneChess.findPossibleDigits(thePad[0][1],4));
}
}
这可以在 O(log N) 中完成。将键盘及其上可能的移动视为图G(V, E)，其中顶点是可用数字，边表示哪些数字可以跟随哪个数字。现在对于每个输出位置i我们可以形成一个向量Paths(i)包含每个顶点可以到达的不同路径的数量。现在很容易看出对于给定的位置i和数字v，它可以bereached 是可能到达前面的数字的不同路径的总和，或Paths(i)[v] = sum(Paths(i-1)[v2] * (1 if (v,v2) in E否则 0) 对于 V 中的 v2). 现在，这是将前一个向量的每个位置的总和乘以邻接矩阵的一列中的相应位置。所以我们可以将其简化为Paths(i) = Paths(i-1) · A，其中A是图的邻接矩阵。摆脱递归并利用矩阵乘法的关联性，这变为Paths(i) = Paths(1) · A^(i-1)。我们知道Paths(1)：我们只有一条路径，到数字 1。
n位数字的路径总数是每个数字的路径之和，因此最终算法变为：TotalPaths(n) = sum( [1,0,0,0,0,0,0,0, 0,0] · A^(n-1) )
幂可以通过O(log(n))时间的平方来计算，给定恒定的时间乘数，否则O(M(n) * log(n))其中M(n)是您最喜欢的任意精度乘法算法的复杂度对于n位数字。
一个更简单的答案。
#include<stdio.h>
int a[10] = {2,2,2,2,3,0,3,2,2,2};
int b[10][3] = {{4,6},{6,8},{7,9},{4,8},{0,3,9},{},{1,7,0},{2,6},{1,3},{2,4}};
int count(int curr,int n)
{
int sum = 0;
if(n==10)
return 1;
else
{
int i = 0;
int val = 0;
for(i = 0; i < a[curr]; i++)
{
val = count(b[curr][i],n+1);
sum += val;
}
return sum;
}
}
int main()
{
int n = 1;
int val = count(1,0);
printf("%d\n",val);
}
庆祝！！
运行时间常数时间解：
#include <iostream>
constexpr int notValid(int x, int y) {
return !(( 1 == x && 3 == y ) || //zero on bottom.
( 0 <= x && 3 > x && //1-9
0 <= y && 3 > y ));
}
class Knight {
template<unsigned N > constexpr int move(int x, int y) {
return notValid(x,y)? 0 : jump<N-1>(x,y);
}
template<unsigned N> constexpr int jump( int x, int y ) {
return move<N>(x+1, y-2) +
move<N>(x-1, y-2) +
move<N>(x+1, y+2) +
move<N>(x-1, y+2) +
move<N>(x+2, y+1) +
move<N>(x-2, y+1) +
move<N>(x+2, y-1) +
move<N>(x-2, y-1);
}
public:
template<unsigned N> constexpr int count() {
return move<N-1>(0,1) + move<N-1>(0,2) +
move<N-1>(1,0) + move<N-1>(1,1) + move<N-1>(1,2) +
move<N-1>(2,0) + move<N-1>(2,1) + move<N-1>(2,2);
}
};
template<> constexpr int Knight::move<0>(int x, int y) { return notValid(x,y)? 0 : 1; }
template<> constexpr int Knight::count<0>() { return 0; } //terminal cases.
template<> constexpr int Knight::count<1>() { return 8; }
int main(int argc, char* argv[]) {
static_assert( ( 16 == Knight().count<2>() ), "Fail on test with 2 lenght" ); // prof of performance
static_assert( ( 35 == Knight().count<3>() ), "Fail on test with 3 lenght" );
std::cout<< "Number of valid Knight phones numbers:" << Knight().count<10>() << std::endl;
return 0;
}
方法返回以 1 开头的 10 位数字列表。计数再次为 1424。
public ArrayList<String> getList(int digit, int length, String base ){
ArrayList<String> list = new ArrayList<String>();
if(length == 1){
list.add(base);
return list;
}
ArrayList<String> temp;
for(int i : b[digit]){
String newBase = base +i;
list.addAll(getList(i, length -1, newBase ));
}
return list;
}
我不确定我是否遗漏了一些东西，但是阅读了问题的描述我来到了这个解决方案。它具有 O(n) 时间复杂度和 O(1) 空间复杂度。
我认为数字 1 在拐角处，对吧？在每个角落，您可以移动到一侧（9 和 3 中的 4，或 7 和 1 中的 6）或“垂直”侧之一（3 和 1 中的 8，或 9 和 7 中的 2）。因此，角落增加了两个动作：侧向移动和“垂直”移动。这适用于所有四个角 (1,3,9,7)。
从每一侧，您可以移动到两个角落（从 6 到 7 和 1，从 4 到 9 和 3），或者您可以到达底部键 (0)。也就是三招。两角一底。
在底部键 (0) 上，您可以移动到两侧（4 和 6）。因此，在每一步中，您检查前一个长度的路径的所有可能结尾（即，有多少在角、边、“垂直”或“底部”零键上结束），然后生成新的结尾根据前面所述的生成规则进行计数。
如果从“1”键开始，则从一个可能的角解决方案开始，在每个步骤中，您计算上一步的角、边、垂直和底端的数量，然后应用规则生成下一个计数。
在纯 JavaScript 代码中。
function paths(n) {
//Index to 0
var corners = 1;
var verticals = 0;
var bottom = 0;
var sides = 0;
if (n <= 0) {
//No moves possible for paths without length
return 0;
}
for (var i = 1; i < n; i++) {
var previousCorners = corners;
var previousVerticals = verticals;
var previousBottom = bottom;
var previousSides = sides;
sides = 1 * previousCorners + 2 * previousBottom;
verticals = 1 * previousCorners;
bottom = 1 * previousSides;
corners = 2 * previousSides + 2 * previousVerticals;
//console.log("Moves: %d, Length: %d, Sides: %d, Verticals: %d, Bottom: %d, Corners: %d, Total: %d", i, i + 1, sides, verticals, bottom, corners, sides+verticals+bottom+corners);
}
return sides + verticals + bottom + corners;
}
for (var i = 0; i <= 10; i++) {
console.log(paths(i));
}
//Both the iterative and recursive with memorize shows count as 1424 for 10 digit numbers starting with 1.
int[][] b = {{4,6},{6,8},{7,9},{4,8},{0,3,9},{},{1,7,0},{2,6},{1,3},{2,4}};
public int countIterative(int digit, int length) {
int[][] matrix = new int[length][10];
for(int dig =0; dig <=9; dig++){
matrix[0][dig] = 1;
}
for(int len = 1; len < length; len++){
for(int dig =0; dig <=9; dig++){
int sum = 0;
for(int i : b[dig]){
sum += matrix[len-1][i];
}
matrix[len][dig] = sum;
}
}
return matrix[length-1][digit];
}
public int count(int index, int length, int[][] matrix ){
int sum = 0;
if(matrix[length-1][index] > 0){
System.out.println("getting value from memoize:"+index + "length:"+ length);
return matrix[length-1][index];
}
if( length == 1){
return 1;
}
for(int i: b[index] ) {
sum += count(i, length-1,matrix);
}
matrix[length-1][index] = sum;
return sum;
}
递归记忆方法：
vector<vector<int>> lupt = { {4, 6}, {6, 8}, {9, 7}, {4, 8}, {3, 9, 0},
{}, {1,7,0}, {6, 2}, {1, 3}, {2, 4} };
int numPhoneNumbersUtil(int startdigit, int& phonenumberlength, int currCount, map< pair<int,int>,int>& memT)
{
int noOfCombs = 0;
vector<int> enddigits;
auto it = memT.find(make_pair(startdigit,currCount));
if(it != memT.end())
{
noOfCombs = it->second;
return noOfCombs;
}
if(currCount == phonenumberlength)
{
return 1;
}
enddigits = lupt[startdigit];
for(auto it : enddigits)
{
noOfCombs += numPhoneNumbersUtil(it, phonenumberlength, currCount + 1, memT);
}
memT.insert(make_pair(make_pair(startdigit,currCount), noOfCombs));
return memT[make_pair(startdigit,currCount)];
}
int numPhoneNumbers(int startdigit, int phonenumberlength)
{
map<pair<int,int>,int> memT;
int currentCount = 1; //the first digit has already been added
return numPhoneNumbersUtil(startdigit, phonenumberlength, currentCount, memT);
}
我实现了蛮力和动态编程模型
import queue
def chess_numbers_bf(start, length):
if length <= 0:
return 0
phone = [[7, 5], [6, 8], [3, 7], [9, 2, 8], [], [6, 9, 0], [1, 5], [0, 2], [3, 1], [5, 3]]
total = 0
q = queue.Queue()
q.put((start, 1))
while not q.empty():
front = q.get()
val = front[0]
len_ = front[1]
if len_ < length:
for elm in phone[val]:
q.put((elm, len_ + 1))
else:
total += 1
return total
def chess_numbers_dp(start, length):
if length <= 0:
return 0
phone = [[7, 5], [6, 8], [3, 7], [9, 2, 8], [], [6, 9, 0], [1, 5], [0, 2], [3, 1], [5, 3]]
memory = {}
def __chess_numbers_dp(s, l):
if (s, l) in memory:
return memory[(s, l)]
elif l == length - 1:
memory[(s, l)] = 1
return 1
else:
total_n_ways = 0
for number in phone[s]:
total_n_ways += __chess_numbers_dp(number, l+1)
memory[(s, l)] = total_n_ways
return total_n_ways
return __chess_numbers_dp(start, 0)
# bf
for i in range(0, 10):
print(i, chess_numbers_bf(3, i))
print('\n')
for i in range(0, 10):
print(i, chess_numbers_bf(9, i))
print('\n')
# dp
for i in range(0, 10):
print(i, chess_numbers_dp(3, i))
print('\n')
# dp
for i in range(0, 10):
print(i, chess_numbers_dp(9, i))
print('\n')
Java中的递归函数：
public static int countPhoneNumbers (int n, int r, int c) {
if (outOfBounds(r,c)) {
return 0;
} else {
char button = buttons[r][c];
if (button == '.') {
// visited
return 0;
} else {
buttons[r][c] = '.'; // record this position so don't revisit.
// Count all possible phone numbers with one less digit starting
int result=0;
result = countPhoneNumbers(n-1,r-2,c-1)
+ countPhoneNumbers(n-1,r-2,c+1)
+ countPhoneNumbers(n-1,r+2,c-1)
+ countPhoneNumbers(n-1,r+2,c+1)
+ countPhoneNumbers(n-1,r-1,c-2)
+ countPhoneNumbers(n-1,r-1,c+2)
+ countPhoneNumbers(n-1,r+1,c-2)
+ countPhoneNumbers(n-1,r+1,c+2);
}
buttons[r][c] = button; // Remove record from position.
return result;
}
}
}