维基百科在这里对代数进行了非常彻底的讨论:
http ://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration
第一步,在维基百科条目中没有真正涵盖,是将您的纬度/经度坐标转换为笛卡尔坐标:
x0 = cos( lon0 ) * cos( lat0 ) , y0 = sin( lon0 ) * cos( lat0 ) , z0 = sin( lat0 )
x1 = cos( lon1 ) * cos( lat0 ) , y1 = sin( lon1 ) * cos( lat1 ) , z1 = sin( lat1 )
x2 = cos( lon2 ) * cos( lat0 ) , y2 = sin( lon2 ) * cos( lat2 ) , z2 = sin( lat2 )
(为了使计算简单,我已经捏造了一些东西,所以我们以“地球半径”而不是公里为单位工作)
对于您的数据,我得到
p0 p1 p2
X -0.420442596 -0.420430618 -0.42040255
Y -0.67380418 -0.673826567 -0.673825967
Z 0.607631426 0.607614889 0.607634975
Wikipedia 文章中介绍的下一步是简化坐标,通过平移点使 p0 位于原点,然后旋转使 p1 在 X 轴上,而 p2 在 XY 平面上。
对于翻译,只需从 p1 和 p2 中减去 p0:
p0a p1a p2a
X 0 1.19779E-05 4.00462E-05
Y 0 -2.23864E-05 -2.17865E-05
Z 0 -1.65372E-05 3.5486E-06
旋转难度不大。p1b 得到 (x,y) = (d,0),其中 d 只是从原点到 p1a 的距离(勾股定理)
对于 p2b,我们需要将 p2a 分解为两个分量:一个与 p1a 平行(在我们的 x 轴上),另一个与 p1a 垂直(在“b”坐标系中的 y 轴上)。
为此,我们需要一个 p1a 方向的单位向量,即 p1a * ( 1/d )。取这个单位向量(如果你愿意,可以称之为 p1a_hat)与 p2a 的点积,这就是 p2b 的 X 坐标。维基百科的文章称这个值“我”
现在 Y 坐标很容易。从原点到 p2 的长度在坐标变换下是不能改变的。所以使用勾股定理计算 p2a 的长度,然后使用勾股定理“向后”得到 p2b 的 Y 坐标必须保持长度不变。这就是维基百科称之为“J”的变量。(请注意,我会留下一个模棱两可的地方,让您弄清楚 J 是正数还是负数)。
现在您已经获得了维基百科文章用于计算的三个变量 d、I 和 J。您现在可以通过乘以地球的半径将它们转换回公里。您应该可以从这里完成其余的计算
(顺便说一句,维基百科对坐标变换给出了不同的计算。我喜欢尽可能避免触发)。