geometry - 从锚点到贝塞尔曲线的最大距离是多少？

Question

给定具有以下属性的三次贝塞尔曲线 P0,P1,P2,P3：

• P1 和P2 都在由P0 和P3 形成的直线的同一侧。
• P2 可以投影到由P0 和P3 形成的线段上，但P1 不能。

曲线上离 P3 最远的点的 T 值是多少？

这是带有示例曲线的图像。曲线向左凸出，因此曲线上有一点距离 P3 比 P0 更远。

我找到了这个参考来找到从任意点到曲线的最小距离。反复试验也是解决最大距离的唯一方法吗？该点是曲线上的锚点有什么区别吗？

谢谢

Answer 1

三次贝塞尔曲线的公式在这篇wiki 文章中给出。使用简单的微积分，您可以找到参数 t 处曲线的切线B '(t) 的公式。

曲线离P ₃最远的点的特征在于切线B '(t) 垂直于向量B (t) -P ₃。

因此，您需要找到点积B '(t)⋅( B (t)- P ₃ )=0 的 t 值。

副手，你正在解决 t 中的五次方，所以准备做一些求根。我通常希望在区间 [0,1] 中有一个根，但我认为P _i的某些配置可能有多个根（在这种情况下，您选择一个给出最大距离的根）。

Answer 2

好吧，边界很容易计算......只是到凸包的最大距离。

如果您正在寻找一个准确的答案，那么您将不得不进行搜索。