math - 确定 3D 点是否在 2D 圆内

Question

我希望确定点 P(x,y,z) 是否在由其中心 C (cx, cy, cz)、半径 R 和圆位于 N 上的平面所定义的 3D 空间中的 2D 圆内。

我知道位于 3D 空间中 2D 圆上的点 P 定义为：

P = R*cos(t) U + R sin(t)*( N x U ) + C

其中U是从圆心到圆上任意一点的单位向量。但是给定一个点 Q，我怎么知道 Q 是在圆上还是在圆内？选择什么合适的参数t？我要比较点 Q 的哪些坐标以查看它们是否在圆内？

谢谢。

Answer 1

将 P 投影到包含圆的平面上，称为 P'。当且仅当 |P - P'| 时，P 将在圆内 = 0 和 |P' - C| <R。

Answer 2

我会通过将其分为两部分来做到这一点：

1. 找出该点是否与圆在同一平面上（即查看从中心到该点的向量与法线的点积是否为零）

2. 找出它是否在包含圆的球体内（即查看从中心到点的距离是否小于半径）。