math - 将概率重写为布尔代数

Question

我得到了三个二进制随机变量：X、Y 和 Z。我还得到了以下内容：

P(Z | X)

P(Z | Y)

P(X)

P(Y)

然后我应该确定是否可以找到P(Z | Y, X). 我尝试以贝叶斯定理的形式重写解决方案，但一无所获。鉴于这些是布尔随机变量，是否可以根据布尔代数重写系统？我知道条件可以映射到布尔含义（x -> y或!x + y），但我不确定这将如何转化为我试图解决的整体问题。

（是的，这是一个家庭作业问题，但在这里我更感兴趣的是如何正式解决这个问题而不是解决方案是什么......我还认为这个问题对于 MathOverflow 来说太简单了）

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我敢打赌有人做得更优雅，但是......

在这种情况下，不，不可能确定 P(Z|Y,X)。一般来说，我认为可以从一组独立的“原子”概率开始，并在我们添加约束时消除它们。例如，查看 X 和 Y，我们从四个概率开始：

P( X,  Y) = a
P( X, ~Y) = b
P(~X,  Y) = c
P(~X, ~Y) = d

现在我们添加概率必须加起来为 1 的约束。我们可以消除一个变量，任何变量，比如 d：

P( X,  Y) = a
P( X, ~Y) = b
P(~X,  Y) = c
P(~X, ~Y) = 1-a-b-c

现在假设我们也知道 P(X)=K：

P( X,  Y) = a
P( X, ~Y) = K-a
P(~X,  Y) = c
P(~X, ~Y) = 1-K-c

等等。在所述问题中，我们可以消除原来八个概率中的五个，但随后我们被要求提供两个仍然独立的概率。

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