algorithm - 大小为 n 的两个数据库中的第 n 个最小数，每个数据库使用分治法

Question

我们有两个大小为 n 的数据库，其中包含没有重复的数字。所以，我们总共有 2n 个元素。它们可以通过一次查询一个数据库来访问。查询是这样的，您给它 ak 并返回该数据库中的第 k 个最小条目。我们需要在 O(log n) 查询的所有 2n 个元素中找到第 n 个最小的条目。

这个想法是使用分而治之，但我需要一些帮助来思考这个问题。谢谢！

Answer 1

前不久在资格考试上看到了这个问题，闻起来像家庭作业的问题。因此，我只提出两个建议：

• 研究二分搜索，仔细注意循环不变量的精确性质。Jon Bentley 的书Programming Pearls有一个很好的解释

• 尝试推广二进制搜索的不变量。

• 用各种特殊情况画一张图：

  • DB1 中的每个数字都小于 DB2 中的每个数字
  • 反之亦然
  • DB1 等于 DB2
  • DB2 中的每个数字都是 DB1 中相应数字的两倍

这是一个相当困难的问题；如果你直接去证明正确性，你会更容易。

Answer 2

尖端：

• 观察你的“数据库”实际上是两个排序的数组。
• 从数组的“中间”获取元素并进行比较。比较的结果可能允许您“排除”某些部分。

Answer 3

这就是我的想法。既然这是一个教育问题，我建议你停止阅读，如果有任何一点让你觉得，“啊哈，我没想到，我可以自己沿着这些思路进一步思考”。

1) 与 sdcwc 相同的观察结果：对于它是从 0 还是从 1 开始可能会有轻微的争论，数据库可以被认为是一个排序数组。我要求元素 0，我得到最小的。我要 12 个，我得到第 13 个最小的。等等。我发现这更容易可视化。

2) 我们知道我们正在寻找一个 O(log n) 算法。这意味着粗略地说，我们正在寻找以下两件事之一：

• 我们要么从计算最小元素开始，然后计算第 2 小、第 4 小、第 8 等，直到达到我们想要的大小，每一步都在恒定时间内。这对我来说听起来并不乐观。

• 或者我们从一个大小为 n 的问题开始，然后我们执行一些常数时间操作，这允许我们通过解决大小为 n/2 的问题来解决原始问题。显然我们可以在常数时间内求解n=1的问题，从而完成算法。这听起来更有道理。

实际上，不一定每次都必须是 n/2。它可能是 n/3 或 999*n/1000，结果仍然是 O(log n)。但是首先寻找 n/2 并没有什么坏处。

3）我们将如何减少这样的问题？好吧，如果我们可以从一个数组或另一个数组的开头打折/删除 m 个元素小于第 k 个最小的元素，那么我们可以找到结果数组对中第 (km) 个最小的元素，它将是原始数组中的第 k 个最小的。

4) 最后，突破性的观察是，如果数组 A 的第 m 个最小元素小于数组 B 的第 m 个最小元素，那么 A 的第 m 个元素不可能是两个数组组合中的第 (2m) 个最小元素。它小于那个（或相等的值：我不确定“无重复”是否意味着“每个数据库中没有重复”或“合并的数据库之间没有重复”），因为最多有 2*(m- 1) 两个数组组合中的元素严格小于它。

除非我犯了错误，否则剩下的就是编码。当 k 为奇数时，使用一个小的额外参数来解释 off-by-1，这个解决方案实际上是 O(log k)，这是 O(log n)，因为 k <= 2*n。