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我有一个线性方程：

vt = v1*x1 + v2*x2 + v3*x3

vt、v1、v2、v3 是值在 0 和 1 之间的标量。生成满足上述等式的 x1、x2 和 x3 的一组（任何一组都可以）的最佳方法是什么。也满足

x1>0
x2>0
x3>0

我有几千套 vt、v1、v2 和 v3，因此我需要能够以编程方式生成 x1、x2 和 x3。

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有两种方法可以解决这个问题：

  1. 根据您在帖子中设计的方法。随机生成x1并x2确保vt < v1*x1 + v2*x2，然后继续求解x3。
  2. 将此公式化为线性程序。线性程序基本上是求解受不等式或等式约束的方程组。换句话说：

废话

因此，我们可以将您的问题转化为线性规划问题。“最大化”语句就是所谓的目标函数——你试图完成的总体目标。在线性规划问题中，我们试图最小化或最大化这个目标。要做到这一点，我们必须满足在条件主体中看到的不等式。通常，该程序以规范形式表示，因此每个变量的约束应该是正的。

最大化条件可以是任意的，因为您不关心目标。您只关心任何解决方案。这整个范例可以通过linprog在 MATLAB 中实现。您应该注意的是如何linprog指定。事实上，目标是最小化而不是最大化。然而，除了确保所有变量都是正数之外，条件是相同的。我们必须自己编写代码。

就任意目标而言，我们可以简单地做x1 + x2 + x3。因此，c = [1 1 1]. 我们的等式约束是：v1*x1 + v2*x2 + v3*x3 = vt. 我们还必须确保这x是积极的。为了编码这个，我们可以做的是选择一个小的常数，以便所有的值x都大于这个值。现在，linprog不支持严格的不等式（即x > 0），所以我们必须通过这个技巧来规避这个问题。此外，为了确保值是正数，linprog假设Ax <= b. 因此，一个常用的技巧是否定 的不等式x >= 0，因此这等价于-x <= 0。为了确保这些值不为零，我们实际上会这样做-x <= -eps：eps是一个小常数。然而，当我做实验时，通过这种方式，两个变量最终成为相同的解决方案。因此，我建议我们做的是每次生成随机的好的解决方案，让我们b从你所说的均匀随机分布中抽取。每次我们想解决这个问题时，这将为我们提供一个起点。

因此，我们的不等式是：

 -x1 <= -rand1
 -x2 <= -rand2
 -x3 <= -rand3

rand1, rand2, rand3是介于0和之间的三个随机生成的数字1。在矩阵形式中，这是：

 [-1 0 0][x1]      [-rand1]
 [0 -1 0][x2]  <=  [-rand2]
 [0 0 -1][x3]      [-rand3]

最后，我们之前的等式约束是：

[v1 v2 v3][x1]     [vt] 
          [x2]  = 
          [x3]

现在，要使用linprog，您可以这样做：

X = linprog(c, A, b, Aeq, beq);

c是为目标定义的系数数组。在这种情况下，它将被定义为[1 1 1]，A并且b是为不等式约束定义的矩阵和列向量，Aeq并且beq是为等式约束定义的矩阵和列向量。 X因此会在收敛后给我们解决方案linprog（即x1, x2, x3）。因此，您可以这样做：

A = -eye(3,3);
b = -rand(3,1);
Aeq = [v1 v2 v3];
beq = vt;
c = [1 1 1];
X = linprog(c, A, b, Aeq, beq);

例如，假设v1 = 0.33, v2 = 0.5, v3 = 0.2和vt = 2.5。所以：

rng(123); %// Set seed for reproducibility
v1 = 0.33; v2 = 0.5; v3 = 0.2;
vt = 2.5;
A = -eye(3,3);
b = -rand(3,1);
Aeq = [v1 v2 v3];
beq = vt;
c = [1 1 1];
X = linprog(c, A, b, Aeq, beq);

我得到：

X =

0.6964
4.4495
0.2268

为了验证这等于vt，我们会这样做：

s = Aeq*X

s = 2.5000

以上只是简单的v1*x1 + v2*x2 + v3*x3。这是以点积形式计算的，以使事情变得容易，因为X它是列向量并且v1, v2, v3已经设置Aeq并且是行向量。

因此，无论哪种方式都很好，但至少使用linprog，您不必继续循环，直到满足该条件！

小警告

我在上述方法中忘记提到的一个小警告是，您需要确保vt >= v1*rand1 + v2*rand2 + v3*rand3确保收敛。既然你说v1,v2,v3介于0和之间1，最坏的情况是v1,v2,v3它们都等于 1。因此，我们确实需要确保vt > rand1 + rand2 + rand3。如果不是这种情况，则只需取 的每个值rand1, rand2, rand3，然后除以(rand1 + rand2 + rand3) / vt。因此，这将确保总和等于vt假设所有权重为 1，这将允许线性程序正确收敛。

如果不这样做，则由于 for 中的不等式条件，解决方案将不会收敛b，并且您将不会得到正确的答案。只是一些思考的食物！因此，请b在运行之前执行此操作linprog

if sum(-b) > vt
   b = b ./ (sum(-b) / vt);
end

祝你好运！

于 2014-07-16T16:35:11.253 回答