来自维基百科：
叉积是在三维欧几里得空间中对两个向量进行二元运算，产生另一个向量，该向量垂直于包含两个输入向量的平面。
鉴于定义仅在三个（或七个、一和零）维度中定义，如何计算两个二维向量的叉积？
我见过两种实现。一个返回一个新向量（但只接受一个向量），另一个返回一个标量（但是是两个向量之间的计算）。
实现 1（返回一个标量）：
float CrossProduct(const Vector2D & v1, const Vector2D & v2) const
{
return (v1.X*v2.Y) - (v1.Y*v2.X);
}
实现 2（返回一个向量）：
Vector2D CrossProduct(const Vector2D & v) const
{
return Vector2D(v.Y, -v.X);
}
为什么不同的实现？我将使用标量实现做什么？我将向量实现用于什么？
我问的原因是因为我自己正在编写一个 Vector2D 类并且不知道使用哪种方法。
实现 1 返回将由输入向量的常规 3D 叉积产生的向量的大小，将其 Z 值隐式设为 0（即将 2D 空间视为 3D 空间中的平面）。3D 叉积将垂直于该平面，因此具有 0 个 X 和 Y 分量（因此返回的标量是 3D 叉积向量的 Z 值）。
请注意，由 3D 叉积产生的向量的大小也等于两个向量之间的平行四边形的面积，这为实现 1 提供了另一个目的。另外，这个区域是有符号的，可以用来判断从V1旋转到V2是逆时针方向还是顺时针方向。还应注意，实现 1 是由这两个向量构建的 2x2 矩阵的行列式。
实现 2 返回一个垂直于输入向量的向量，该向量仍然在同一个 2D 平面中。不是经典意义上的叉积，而是“给我一个垂直向量”意义上的一致。
请注意，3D 欧几里得空间在叉积运算下是封闭的——也就是说，两个 3D 向量的叉积返回另一个 3D 向量。上述两种 2D 实现方式都与此不一致。
希望这可以帮助...
简而言之：这是数学黑客的简写符号。
长解释：
您不能在 2D 空间中对向量进行叉积。那里没有定义操作。
然而，假设 2D 向量通过将其 z 坐标设置为零来扩展为 3D，则评估两个向量的叉积通常很有趣。这与在 xy 平面上使用 3D 矢量相同。
如果您以这种方式扩展向量并计算这种扩展向量对的叉积，您会注意到只有 z 分量具有有意义的值：x 和 y 将始终为零。
这就是为什么结果的 z 分量通常简单地作为标量返回的原因。例如，此标量可用于查找 2D 空间中三个点的绕组。
从纯数学的角度来看，2D 空间中的叉积不存在，标量版本是 hack，返回 2D 向量的 2D 叉积根本没有意义。
叉积的另一个有用特性是它的大小与两个向量之间角度的正弦有关：
| 斧头 | = |一个| . |b| . 正弦（θ）
或者
正弦(θ) = | 斧头 | / (|a| . |b|)
因此，在上面的实现 1 中，如果预先知道a和b是单位向量，那么该函数的结果正是该 sine() 值。
实现 1 是两个向量的perp 点积。我所知道的关于 2D 图形的最佳参考是出色的Graphics Gems系列。如果您正在从事 2D 临时工作，那么拥有这些书籍非常重要。第 IV 卷有一篇名为“Perp Dot 产品的乐趣”的文章，其中介绍了它的很多用途。
perp 点积的一个主要用途是获得sin两个向量之间角度的缩放，就像点积返回cos角度的缩放一样。当然，您可以同时使用点积和perp 点积来确定两个向量之间的角度。
一个有用的 2D 矢量运算是返回标量的叉积。我用它来查看多边形中的两个连续边是向左还是向右弯曲。
来自Chipmunk2D来源：
/// 2D vector cross product analog.
/// The cross product of 2D vectors results in a 3D vector with only a z component.
/// This function returns the magnitude of the z value.
static inline cpFloat cpvcross(const cpVect v1, const cpVect v2)
{
return v1.x*v2.y - v1.y*v2.x;
}
我在计算中使用 2d 叉积来找到对象的新正确旋转，该对象在相对于其质心的任意点处受到力矢量的作用。（标量 Z 一。）