math - 用numpy离散化连续傅里叶变换

Question

考虑一个函数 f(t)，我如何计算连续傅里叶变换 g(w) 并绘制它（使用 numpy 和 matplotlib）？

如果不存在傅里叶积分的解析解，则会出现此问题或逆问题（g(w) 给定，f(t) 的图未知）。

Answer 1

您可以为此使用numpy FFT 模块，但必须做一些额外的工作。首先让我们看一下傅立叶积分并将其离散化： 这里 k,m 是整数，N 是 f(t) 的数据点数。使用这种离散化，我们得到

最后一个表达式中的总和正是 numpy 使用的离散傅里叶变换 (DFT) （参见numpy FFT 模块的“实现细节”部分）。有了这些知识，我们可以编写以下python脚本

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pl

#Consider function f(t)=1/(t^2+1)
#We want to compute the Fourier transform g(w)

#Discretize time t
t0=-100.
dt=0.001
t=np.arange(t0,-t0,dt)
#Define function
f=1./(t**2+1.)

#Compute Fourier transform by numpy's FFT function
g=np.fft.fft(f)
#frequency normalization factor is 2*np.pi/dt
w = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dt


#In order to get a discretisation of the continuous Fourier transform
#we need to multiply g by a phase factor
g*=dt*np.exp(-complex(0,1)*w*t0)/(np.sqrt(2*np.pi))

#Plot Result
pl.scatter(w,g,color="r")
#For comparison we plot the analytical solution
pl.plot(w,np.exp(-np.abs(w))*np.sqrt(np.pi/2),color="g")

pl.gca().set_xlim(-10,10)
pl.show()
pl.close()

结果图显示脚本有效