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我有一个矩阵 z(x,y)任意多项式 pdf := z 这是一个由独特的核密度估计构造的 NxN abitary pdf（即不是通常的 pdf，它没有函数）。它是多元的，不可分离的，是离散的数据。

我不想构造一个 NxN 矩阵 (F(x,y))，它是这个 pdf 的二维累积分布函数，这样我就可以随机抽样 F(x,y) = P(x < X ， y < Y);

从分析上讲，我认为多元函数的 CDF 是 pdf 的表面积分。

我尝试的是使用该cumsum函数来计算表面积分，并使用多元法线对解析解进行测试，两者之间似乎存在一些差异：

% multivariate parameters
delta = 100;
mu = [1 1];
Sigma = [0.25 .3; .3 1];
x1 = linspace(-2,4,delta); x2 = linspace(-2,4,delta);
[X1,X2] = meshgrid(x1,x2);
% Calculate Normal multivariate pdf
F = mvnpdf([X1(:) X2(:)],mu,Sigma);
F = reshape(F,length(x2),length(x1));
% My attempt at a numerical surface integral 
FN = cumsum(cumsum(F,1),2);
% Normalise the CDF
FN = FN./max(max(FN));
X = [X1(:) X2(:)];
% Analytic solution to a multivariate normal pdf
p = mvncdf(X,mu,Sigma);
p = reshape(p,delta,delta);
% Highlight the difference
dif = p - FN;
error = max(max(sqrt(dif.^2)));
% %% Plot
figure(1)
surf(x1,x2,F);
caxis([min(F(:))-.5*range(F(:)),max(F(:))]);
xlabel('x1'); ylabel('x2'); zlabel('Probability Density');
figure(2)
surf(X1,X2,FN);
xlabel('x1'); ylabel('x2');
figure(3);
surf(X1,X2,p);
xlabel('x1'); ylabel('x2');
figure(5)
surf(X1,X2,dif)
xlabel('x1'); ylabel('x2');

特别是错误似乎在最重要的过渡区域。

有没有人对这个问题有更好的解决方案或者看看我做错了什么？任何帮助将非常感激！

编辑：这是累积积分的期望结果，这个函数对我有价值的原因是，当您在闭合区间 [0,1] 上从该函数随机生成样本时，加权值越高（即可能性越大）以这种方式出现的频率更高，样本收敛于期望值（在多个峰值的情况下），这是粒子滤波器、神经网络等算法的理想结果。 多元 cdf

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首先考虑一维情况。您有一个由向量​​表示的函数，F并且想要进行数值积分。cumsum(F)会这样做，但它使用了一种糟糕的数值积分形式。即，它被视为F一个阶跃函数。您可以改为使用梯形规则或辛普森规则进行更准确的数值积分。

二维情况也不例外。您的使用cumsum(cumsum(F,1),2)再次被F视为阶跃函数，并且随着积分维数的增加，由该假设产生的数值误差只会变得更糟。存在梯形规则和辛普森规则的二维类似物。由于这里有太多的数学重复，请看这里： http: //onestopgate.com/gate-study-material/mathematics/numerical-analysis/numerical-integration/2d-trapezoidal.asp。

于 2014-06-06T16:08:48.527 回答
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您无需计算概率密度函数的二维积分即可从分布中采样。如果您正在计算二维积分，那么您将错误地解决问题。

以下是解决抽样问题的两种方法。

(1) 你写道你有一个核密度估计。核密度估计是混合密度的一种特殊情况。任何混合密度都可以通过首先选择一个内核（可能不同或相同的权重，应用相同的程序），然后从该内核中采样来进行采样。（这适用于任何数量的维度。）通常，内核是一些相对简单的分布，例如高斯分布，因此很容易从中采样。

(2) 任何联合密度 P(X, Y) 等于 P(X | Y) P(Y) （等价于 P(Y | X) P(X)）。因此，您可以从 P(Y)（或 P(X)）采样，然后从 P(X | Y) 采样。为了从 P(X | Y) 中采样，您需要沿 Y = y 线对 P(X, Y) 进行积分（其中 y 是 Y 的采样值），但是（这很关键）您只需要沿着这条线整合；您不需要整合 X 和 Y 的所有值。

如果您告诉我们更多有关您的问题的信息，我可以提供详细信息。

于 2014-06-08T05:27:13.103 回答