math - r^2 的每个除数都是 r 的两个除数的乘积 - 证明？

Question

我最近在尝试解决 TopCoder 中的问题时遇到了以下语句 -

r^2 的每个除数都是 r 的两个除数的乘积

在这里，我能够证明

r 的两个除数的任何乘积将始终是 r^2 的除数。

但是，我无法以另一种方式证明它，即。

r^2 的任何除数将始终是 r 的两个除数的乘积。

我尝试用谷歌搜索它，但无济于事。所以任何关于这个证明的观点都非常感谢

-谢谢

Answer 1

令p ₁ , p ₂ , ..., p _n是r的素数分解。（请注意，相同的素数可以在素数分解中出现多次，例如p ₁ =2 和p ₂ =2。）

那么r ²的素数分解是p ₁ ² p ₂ ² ... p _n ²。

令d为r ²的除数。然后d = p ₁ ^{i ₁} p ₂ ^{i ₂} ... p _n ^{i _n}其中每个 i _k是 0、1 或 2。

令a = 所有p _k的乘积，其中 i _k为 1 或 2，令b = 所有p _k的乘积，其中 i _k为 2。则a是r的除数，b是r的除数，ab = d，根据需要。