c# - 计算 3D 平面多边形的质心

Question

这是一个与此处类似的问题。

给定定义表面的 3D 坐标列表（Point3D1、Point3D2、Point3D3等），如何计算表面的质心？

在 2D 中，计算由以下公式给出：

那么3D模拟呢？

Answer 1

只需使用您有两次的方程式，但第二次将z换成y。

也就是说，计算两个投影的质心，一个在xy平面上，另一个在xz平面上。投影的质心将是实际质心的投影，因此答案将是您从这两个计算中找到的x、y和z值。

更明确地说：如果您的点是 (x1, y1, z1), (x2, y2, z2),... ，要获得 xy 质心 (Cx, Cy)，请使用 (x1, y1) 进行计算， (x2, y2),... 并获得 xz 质心， (Cx, Cz) 使用点 (x1, z1), (x2, z2),.... - 只需使用相同的点进行第二次计算二维公式，将 z 值视为方程中的 y。然后您的 3D 质心将是 (Cx, Cy, Cz)。只要您的表面是平坦的并且不平行于 xy、xz 或 yz 平面，这将起作用（但如果它平行，则它只是 2D 方程）。

Answer 2

设点为逆时针方向的 v ₀ , v ₁ , ..., v _{N ，其中 v i} = (x _i , y _i , z _i )。

然后是三元组 (v ₀ , v ₁ , v ₂ ), (v ₀ , v ₂ , v ₃ ), ..., (v ₀ , v _i , v _i+1 ), ..., (v ₀ , v _N-1 , v _N ) 形成创建多边形的 N-1 个三角形。

每个三角形的面积是| (v _i - v ₀ ) × (v _i+1 - v ₀ ) | ÷ 2，其中 × 是叉积，| · | 是向量长度。

您可能需要将该区域设为负值以补偿凹入部分。一个简单的检查是计算(v _i - v ₀ ) × (v _i+1 - v ₀ ) · (v ₁ - v ₀ ) × (v ₂ - v ₀ )。该区域应具有与结果相同的符号。

由于在平行投影下二维图形的面积比是恒定的，因此您可能需要选择不平行于平面的单位向量（例如 z），即(v _i - v ₀ ) × (v _i+1 - v ₀ ) · z为面积。有了这个，您不需要执行昂贵的平方根，并且会自动处理符号检查。

每个三角形的质心为(v ₀ + v _i + v _i+1 ) ÷ 3。

因此，整个多边形的质心是，假设密度均匀，

                1       N-1
centroid = ——————————    ∑  ( centroid-of-triangle-i × area-of-triangle-i )
           total-area   i=1

（对于 ≥ 4D 的尺寸，需要使用 A _i = ½ |v _i -v ₀ | |v _i+1 -v ₀ | sin θ _i计算面积，其中 cos θ _i = (v _i -v ₀ ) · (v _i+1 -v ₀ )。)

Answer 3

如果它是一个平面，您可以转换到该平面的局部坐标系，使用您提供的公式计算质心，然后转换回来以获取其在 3D 空间中的坐标。