我需要在不使用任何静态/全局变量的情况下找到二叉搜索树中的第 k 个最小元素。如何有效地实现它？我想到的解决方案是在 O(n) 中进行操作，这是最坏的情况，因为我打算对整个树进行中序遍历。但在内心深处，我觉得我没有在这里使用 BST 属性。我的假设解决方案是正确的还是有更好的解决方案？
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这里只是这个想法的概要：
在 BST 中，节点的左子树T仅包含小于存储在 中的值的元素T。如果k小于左子树中的元素个数，则第一个k最小的元素必须属于左子树。否则，如果k更大，则第kth 小元素在右子树中。
我们可以扩充 BST，使其中的每个节点都存储其左子树中的元素数量（假设给定节点的左子树包括该节点）。有了这条信息，就很容易遍历树，通过反复询问左子树中元素的数量，来决定是递归到左子树还是右子树。
现在，假设我们在节点 T：
- 如果k == num_elements(left subtree of T)，那么我们正在寻找的答案就是 node 中的值
T。 - 如果k > num_elements(left subtree of T)，那么显然我们可以忽略左子树，因为这些元素也将小于
kth 最小的。因此，我们将问题简化为找到k - num_elements(left subtree of T)右子树的最小元素。 - 如果k < num_elements(left subtree of T)，则第 th 最小的元素在左子树
k中的某个位置，因此我们将问题简化为在左子树中查找第kth 最小元素。
复杂性分析：
这需要O(depth of node)时间，这O(log n)在平衡 BST 或O(log n)平均随机 BST 上是最坏的情况。
BST 需要O(n)存储，并且需要另一个O(n)来存储有关元素数量的信息。所有 BST 操作都需要O(depth of node)时间，并且需要O(depth of node)额外的时间来维护节点的插入、删除或旋转的“元素数量”信息。因此，在左子树中存储有关元素数量的信息可以保持 BST 的空间和时间复杂度。
于 2010-02-24T20:27:35.617 回答
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一个更简单的解决方案是进行中序遍历并跟踪当前要打印的元素（不打印它）。当我们到达 k 时，打印元素并跳过其余的树遍历。
void findK(Node* p, int* k) {
if(!p || k < 0) return;
findK(p->left, k);
--k;
if(k == 0) {
print p->data;
return;
}
findK(p->right, k);
}
于 2010-12-01T04:14:43.877 回答
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public int ReturnKthSmallestElement1(int k)
{
Node node = Root;
int count = k;
int sizeOfLeftSubtree = 0;
while(node != null)
{
sizeOfLeftSubtree = node.SizeOfLeftSubtree();
if (sizeOfLeftSubtree + 1 == count)
return node.Value;
else if (sizeOfLeftSubtree < count)
{
node = node.Right;
count -= sizeOfLeftSubtree+1;
}
else
{
node = node.Left;
}
}
return -1;
}
this is my implementation in C# based on the algorithm above just thought I'd post it so people can understand better it works for me
thank you IVlad
于 2010-06-09T22:01:37.503 回答
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//添加一个没有递归的java版本
public static <T> void find(TreeNode<T> node, int num){
Stack<TreeNode<T>> stack = new Stack<TreeNode<T>>();
TreeNode<T> current = node;
int tmp = num;
while(stack.size() > 0 || current!=null){
if(current!= null){
stack.add(current);
current = current.getLeft();
}else{
current = stack.pop();
tmp--;
if(tmp == 0){
System.out.println(current.getValue());
return;
}
current = current.getRight();
}
}
}
于 2012-12-29T04:09:49.580 回答
10
一个更简单的解决方案是进行中序遍历并使用计数器 k 跟踪当前要打印的元素。当我们到达 k 时，打印元素。运行时间为 O(n)。请记住函数返回类型不能为 void，它必须在每次递归调用后返回其更新后的 k 值。对此更好的解决方案是在每个节点处具有排序位置值的增强 BST。
public static int kthSmallest (Node pivot, int k){
if(pivot == null )
return k;
k = kthSmallest(pivot.left, k);
k--;
if(k == 0){
System.out.println(pivot.value);
}
k = kthSmallest(pivot.right, k);
return k;
}
于 2015-10-13T20:43:58.403 回答
7
您可以使用迭代中序遍历： http ://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#Iterative_Traversal 在将节点弹出堆栈后简单检查第 k 个元素。
于 2011-01-16T22:24:13.797 回答
4
带计数器的递归有序游走
Time Complexity: O( N ), N is the number of nodes
Space Complexity: O( 1 ), excluding the function call stack
这个想法类似于@prasadvk 解决方案，但它有一些缺点（见下面的注释），所以我把它作为一个单独的答案发布。
// Private Helper Macro
#define testAndReturn( k, counter, result ) \
do { if( (counter == k) && (result == -1) ) { \
result = pn->key_; \
return; \
} } while( 0 )
// Private Helper Function
static void findKthSmallest(
BstNode const * pn, int const k, int & counter, int & result ) {
if( ! pn ) return;
findKthSmallest( pn->left_, k, counter, result );
testAndReturn( k, counter, result );
counter += 1;
testAndReturn( k, counter, result );
findKthSmallest( pn->right_, k, counter, result );
testAndReturn( k, counter, result );
}
// Public API function
void findKthSmallest( Bst const * pt, int const k ) {
int counter = 0;
int result = -1; // -1 := not found
findKthSmallest( pt->root_, k, counter, result );
printf("%d-th element: element = %d\n", k, result );
}
注意事项（以及与@prasadvk 解决方案的区别）：
if( counter == k )需要在三个地方进行测试：（a）在左子树之后，（b）在根之后，以及（c）在右子树之后。这是为了确保为所有位置检测到第 k 个元素，即不管它位于哪个子树。if( result == -1 )需要进行测试以确保仅打印结果元素，否则打印从第 k 个最小元素到根的所有元素。
于 2014-04-14T19:53:44.187 回答
4
只给一个普通的二叉搜索树，你所能做的就是从最小的开始，然后向上遍历找到正确的节点。
如果您要经常这样做，您可以为每个节点添加一个属性，表示其左子树中有多少个节点。使用它，您可以将树直接下降到正确的节点。
于 2010-02-24T20:27:55.540 回答
3
对于不平衡的搜索树，它需要O(n)。
对于平衡搜索树，在最坏的情况下需要O(k + log n) ，但在摊销意义上只需要O(k) 。
拥有和管理每个节点的额外整数：子树的大小给出O(log n)时间复杂度。这种平衡的搜索树通常称为RankTree。
一般来说，有解决方案（不是基于树）。
问候。
于 2010-02-25T09:19:28.433 回答
1
虽然这绝对不是问题的最佳解决方案，但它是另一个潜在的解决方案，我认为有些人可能会觉得有趣：
/**
* Treat the bst as a sorted list in descending order and find the element
* in position k.
*
* Time complexity BigO ( n^2 )
*
* 2n + sum( 1 * n/2 + 2 * n/4 + ... ( 2^n-1) * n/n ) =
* 2n + sigma a=1 to n ( (2^(a-1)) * n / 2^a ) = 2n + n(n-1)/4
*
* @param t The root of the binary search tree.
* @param k The position of the element to find.
* @return The value of the element at position k.
*/
public static int kElement2( Node t, int k ) {
int treeSize = sizeOfTree( t );
return kElement2( t, k, treeSize, 0 ).intValue();
}
/**
* Find the value at position k in the bst by doing an in-order traversal
* of the tree and mapping the ascending order index to the descending order
* index.
*
*
* @param t Root of the bst to search in.
* @param k Index of the element being searched for.
* @param treeSize Size of the entire bst.
* @param count The number of node already visited.
* @return Either the value of the kth node, or Double.POSITIVE_INFINITY if
* not found in this sub-tree.
*/
private static Double kElement2( Node t, int k, int treeSize, int count ) {
// Double.POSITIVE_INFINITY is a marker value indicating that the kth
// element wasn't found in this sub-tree.
if ( t == null )
return Double.POSITIVE_INFINITY;
Double kea = kElement2( t.getLeftSon(), k, treeSize, count );
if ( kea != Double.POSITIVE_INFINITY )
return kea;
// The index of the current node.
count += 1 + sizeOfTree( t.getLeftSon() );
// Given any index from the ascending in order traversal of the bst,
// treeSize + 1 - index gives the
// corresponding index in the descending order list.
if ( ( treeSize + 1 - count ) == k )
return (double)t.getNumber();
return kElement2( t.getRightSon(), k, treeSize, count );
}
于 2011-01-27T19:57:04.133 回答
1
这很好用： status : 是保存是否找到元素的数组。k ：是要找到的第 k 个元素。count ：跟踪树遍历期间遍历的节点数。
int kth(struct tree* node, int* status, int k, int count)
{
if (!node) return count;
count = kth(node->lft, status, k, count);
if( status[1] ) return status[0];
if (count == k) {
status[0] = node->val;
status[1] = 1;
return status[0];
}
count = kth(node->rgt, status, k, count+1);
if( status[1] ) return status[0];
return count;
}
于 2010-09-02T05:55:17.140 回答
1
签名：
Node * find(Node* tree, int *n, int k);
调用为：
*n = 0;
kthNode = find(root, n, k);
定义：
Node * find ( Node * tree, int *n, int k)
{
Node *temp = NULL;
if (tree->left && *n<k)
temp = find(tree->left, n, k);
*n++;
if(*n==k)
temp = root;
if (tree->right && *n<k)
temp = find(tree->right, n, k);
return temp;
}
于 2011-04-03T06:36:43.290 回答
1
好吧，这是我的 2 美分...
int numBSTnodes(const Node* pNode){
if(pNode == NULL) return 0;
return (numBSTnodes(pNode->left)+numBSTnodes(pNode->right)+1);
}
//This function will find Kth smallest element
Node* findKthSmallestBSTelement(Node* root, int k){
Node* pTrav = root;
while(k > 0){
int numNodes = numBSTnodes(pTrav->left);
if(numNodes >= k){
pTrav = pTrav->left;
}
else{
//subtract left tree nodes and root count from 'k'
k -= (numBSTnodes(pTrav->left) + 1);
if(k == 0) return pTrav;
pTrav = pTrav->right;
}
return NULL;
}
于 2010-09-08T12:51:03.520 回答
0
于 2012-11-07T12:55:58.907 回答
0
这也可以。只需在树中调用带有 maxNode 的函数
def k_largest(self, node, k): if k < 0: return None
if k == 0: return node else: k -=1 return self.k_largest(self.predecessor(node), k)
于 2013-03-31T17:52:58.917 回答
0
完整 BST 案例的解决方案：-
Node kSmallest(Node root, int k) {
int i = root.size(); // 2^height - 1, single node is height = 1;
Node result = root;
while (i - 1 > k) {
i = (i-1)/2; // size of left subtree
if (k < i) {
result = result.left;
} else {
result = result.right;
k -= i;
}
}
return i-1==k ? result: null;
}
于 2011-12-09T06:55:47.957 回答
0
Linux 内核具有出色的增强型红黑树数据结构，支持 linux/lib/rbtree.c 中 O(log n) 中的基于秩的操作。
还可以在http://code.google.com/p/refolding/source/browse/trunk/core/src/main/java/it/unibo/refolding/alg/RbTree.java找到一个非常粗略的 Java 端口，连同 RbRoot.java 和 RbNode.java。第 n 个元素可以通过调用 RbNode.nth(RbNode node, int n) 获得，传入树的根。
于 2012-04-30T22:21:18.583 回答
0
这就是我的想法，它有效。它将在 o(log n ) 中运行
public static int FindkThSmallestElemet(Node root, int k)
{
int count = 0;
Node current = root;
while (current != null)
{
count++;
current = current.left;
}
current = root;
while (current != null)
{
if (count == k)
return current.data;
else
{
current = current.left;
count--;
}
}
return -1;
} // end of function FindkThSmallestElemet
于 2010-05-13T06:58:39.433 回答
0
我认为这比接受的答案更好，因为它不需要修改原始树节点来存储它的子节点的数量。
我们只需要使用中序遍历从左到右计数最小的节点，一旦计数等于K就停止搜索。
private static int count = 0;
public static void printKthSmallestNode(Node node, int k){
if(node == null){
return;
}
if( node.getLeftNode() != null ){
printKthSmallestNode(node.getLeftNode(), k);
}
count ++ ;
if(count <= k )
System.out.println(node.getValue() + ", count=" + count + ", k=" + k);
if(count < k && node.getRightNode() != null)
printKthSmallestNode(node.getRightNode(), k);
}
于 2013-09-01T12:02:23.857 回答
0
我找不到更好的算法..所以决定写一个:) 如果这是错误的，请纠正我。
class KthLargestBST{
protected static int findKthSmallest(BSTNode root,int k){//user calls this function
int [] result=findKthSmallest(root,k,0);//I call another function inside
return result[1];
}
private static int[] findKthSmallest(BSTNode root,int k,int count){//returns result[]2 array containing count in rval[0] and desired element in rval[1] position.
if(root==null){
int[] i=new int[2];
i[0]=-1;
i[1]=-1;
return i;
}else{
int rval[]=new int[2];
int temp[]=new int[2];
rval=findKthSmallest(root.leftChild,k,count);
if(rval[0]!=-1){
count=rval[0];
}
count++;
if(count==k){
rval[1]=root.data;
}
temp=findKthSmallest(root.rightChild,k,(count));
if(temp[0]!=-1){
count=temp[0];
}
if(temp[1]!=-1){
rval[1]=temp[1];
}
rval[0]=count;
return rval;
}
}
public static void main(String args[]){
BinarySearchTree bst=new BinarySearchTree();
bst.insert(6);
bst.insert(8);
bst.insert(7);
bst.insert(4);
bst.insert(3);
bst.insert(4);
bst.insert(1);
bst.insert(12);
bst.insert(18);
bst.insert(15);
bst.insert(16);
bst.inOrderTraversal();
System.out.println();
System.out.println(findKthSmallest(bst.root,11));
}
}
于 2013-03-14T05:10:18.627 回答
0
这是C#中的一个简洁版本，它返回第 k 个最小的元素，但需要将 k 作为 ref 参数传入（它与@prasadvk 的方法相同）：
Node FindSmall(Node root, ref int k)
{
if (root == null || k < 1)
return null;
Node node = FindSmall(root.LeftChild, ref k);
if (node != null)
return node;
if (--k == 0)
return node ?? root;
return FindSmall(root.RightChild, ref k);
}
找到最小节点是O(log n) ，然后遍历到第k个节点是O(k)，所以是O(k + log n)。
于 2012-06-26T04:05:24.740 回答
0
好吧，我们可以简单地使用顺序遍历并将访问的元素压入堆栈。弹出 k 次，得到答案。
我们也可以在 k 个元素之后停止
于 2011-02-12T07:34:44.787 回答
0
这是java代码，
max(Node root, int k) - 找到第 k 个最大的
min(Node root, int k) - 找到第 k 个最小的
static int count(Node root){
if(root == null)
return 0;
else
return count(root.left) + count(root.right) +1;
}
static int max(Node root, int k) {
if(root == null)
return -1;
int right= count(root.right);
if(k == right+1)
return root.data;
else if(right < k)
return max(root.left, k-right-1);
else return max(root.right, k);
}
static int min(Node root, int k) {
if (root==null)
return -1;
int left= count(root.left);
if(k == left+1)
return root.data;
else if (left < k)
return min(root.right, k-left-1);
else
return min(root.left, k);
}
于 2013-03-19T23:27:33.070 回答
0
使用辅助 Result 类来跟踪是否找到节点和当前 k。
public class KthSmallestElementWithAux {
public int kthsmallest(TreeNode a, int k) {
TreeNode ans = kthsmallestRec(a, k).node;
if (ans != null) {
return ans.val;
} else {
return -1;
}
}
private Result kthsmallestRec(TreeNode a, int k) {
//Leaf node, do nothing and return
if (a == null) {
return new Result(k, null);
}
//Search left first
Result leftSearch = kthsmallestRec(a.left, k);
//We are done, no need to check right.
if (leftSearch.node != null) {
return leftSearch;
}
//Consider number of nodes found to the left
k = leftSearch.k;
//Check if current root is the solution before going right
k--;
if (k == 0) {
return new Result(k - 1, a);
}
//Check right
Result rightBalanced = kthsmallestRec(a.right, k);
//Consider all nodes found to the right
k = rightBalanced.k;
if (rightBalanced.node != null) {
return rightBalanced;
}
//No node found, recursion will continue at the higher level
return new Result(k, null);
}
private class Result {
private final int k;
private final TreeNode node;
Result(int max, TreeNode node) {
this.k = max;
this.node = node;
}
}
}
于 2016-12-23T15:53:56.907 回答
0
最好的方法已经存在。但我想为此添加一个简单的代码
int kthsmallest(treenode *q,int k){
int n = size(q->left) + 1;
if(n==k){
return q->val;
}
if(n > k){
return kthsmallest(q->left,k);
}
if(n < k){
return kthsmallest(q->right,k - n);
}
}
int size(treenode *q){
if(q==NULL){
return 0;
}
else{
return ( size(q->left) + size(q->right) + 1 );
}}
于 2016-06-10T00:19:19.640 回答
0
Python 解决方案时间复杂度：O(n) 空间复杂度：O(1)
想法是使用莫里斯中序遍历
class Solution(object):
def inorderTraversal(self, current , k ):
while(current is not None): #This Means we have reached Right Most Node i.e end of LDR traversal
if(current.left is not None): #If Left Exists traverse Left First
pre = current.left #Goal is to find the node which will be just before the current node i.e predecessor of current node, let's say current is D in LDR goal is to find L here
while(pre.right is not None and pre.right != current ): #Find predecesor here
pre = pre.right
if(pre.right is None): #In this case predecessor is found , now link this predecessor to current so that there is a path and current is not lost
pre.right = current
current = current.left
else: #This means we have traverse all nodes left to current so in LDR traversal of L is done
k -= 1
if(k == 0):
return current.val
pre.right = None #Remove the link tree restored to original here
current = current.right
else: #In LDR LD traversal is done move to R
k -= 1
if(k == 0):
return current.val
current = current.right
return 0
def kthSmallest(self, root, k):
return self.inorderTraversal( root , k )
于 2020-04-06T16:17:57.333 回答
0
以下是步骤：
1.向每个节点添加一个字段，指示其根的树的大小。这支持O(logN)平均时间的操作。
2.为了节省空间，一个字段表示它根节点的大小就足够了。我们不需要同时保存左子树和右子树的大小。
3.进行中序遍历，直到LeftTree == K, LeftTree = Size(T->Left) + 1。
4.示例代码如下：
int Size(SearchTree T)
{
if(T == NULL) return 0;
return T->Size;
}
Position KthSmallest(SearchTree T, int K)
{
if(T == NULL) return NULL;
int LeftTree;
LeftTree = Size(T->Left) + 1;
if(LeftTree == K) return T;
if(LeftTree > K){
T = KthSmallest(T->Left, K);
}else if(LeftTree < K){
T = KthSmallest(T->Right, K - LeftTree);
}
return T;
}
5.同理，我们也可以得到KthLargest函数。
于 2021-08-02T08:29:14.590 回答
0
public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
LinkedList<TreeNode> stack = new LinkedList<TreeNode>();
while (true) {
while (root != null) {
stack.push(root);
root = root.left;
}
root = stack.pop();
k = k - 1;
if (k == 0) return root.val;
root = root.right;
}
}
于 2021-05-15T18:13:11.203 回答
-1
public static Node kth(Node n, int k){
Stack<Node> s=new Stack<Node>();
int countPopped=0;
while(!s.isEmpty()||n!=null){
if(n!=null){
s.push(n);
n=n.left;
}else{
node=s.pop();
countPopped++;
if(countPopped==k){
return node;
}
node=node.right;
}
}
}
于 2015-01-10T19:00:32.893 回答
-1
我写了一个简洁的函数来计算第 k 个最小的元素。我使用有序遍历并在它到达第 k 个最小元素时停止。
void btree::kthSmallest(node* temp, int& k){
if( temp!= NULL) {
kthSmallest(temp->left,k);
if(k >0)
{
if(k==1)
{
cout<<temp->value<<endl;
return;
}
k--;
}
kthSmallest(temp->right,k); }}
于 2012-05-25T11:23:49.567 回答
-1
public int printInorder(Node node, int k)
{
if (node == null || k <= 0) //Stop traversing once you found the k-th smallest element
return k;
/* first recur on left child */
k = printInorder(node.left, k);
k--;
if(k == 0) {
System.out.print(node.key);
}
/* now recur on right child */
return printInorder(node.right, k);
}
这个java递归算法，一旦找到第k个最小元素就停止递归。
于 2018-11-29T12:22:18.207 回答
-2
int RecPrintKSmallest(Node_ptr head,int k){
if(head!=NULL){
k=RecPrintKSmallest(head->left,k);
if(k>0){
printf("%c ",head->Node_key.key);
k--;
}
k=RecPrintKSmallest(head->right,k);
}
return k;
}
于 2013-01-18T13:57:02.517 回答
-2
public TreeNode findKthElement(TreeNode root, int k){
if((k==numberElement(root.left)+1)){
return root;
}
else if(k>numberElement(root.left)+1){
findKthElement(root.right,k-numberElement(root.left)-1);
}
else{
findKthElement(root.left, k);
}
}
public int numberElement(TreeNode node){
if(node==null){
return 0;
}
else{
return numberElement(node.left) + numberElement(node.right) + 1;
}
}
于 2013-02-22T20:29:04.093 回答
-5
对于二叉搜索树，中序遍历将按顺序返回元素...。
只需进行中序遍历并在遍历 k 个元素后停止。
对于 k 的常数值，O(1)。
于 2010-02-24T20:21:27.017 回答