计算数字的最大素数的最佳方法是什么？
我认为最有效的方法如下：
我将这个假设建立在更容易计算小素数的基础上。这是对的吗？我应该研究哪些其他方法？
编辑：我现在意识到，如果有超过 2 个素数在起作用，我的方法是徒劳的，因为当结果是其他两个素数的乘积时，第 2 步失败，因此需要递归算法。
再次编辑：现在我意识到这仍然有效，因为最后找到的素数必须是最高的，因此对第 2 步的非素数结果的任何进一步测试都会导致更小的素数。
这是我所知道的最好的算法（在 Python 中）
def prime_factors(n):
"""Returns all the prime factors of a positive integer"""
factors = []
d = 2
while n > 1:
while n % d == 0:
factors.append(d)
n /= d
d = d + 1
return factors
pfs = prime_factors(1000)
largest_prime_factor = max(pfs) # The largest element in the prime factor list
上述方法在O(n)最坏的情况下运行（当输入是素数时）。
编辑：
以下是O(sqrt(n))评论中建议的版本。这是代码，再一次。
def prime_factors(n):
"""Returns all the prime factors of a positive integer"""
factors = []
d = 2
while n > 1:
while n % d == 0:
factors.append(d)
n /= d
d = d + 1
if d*d > n:
if n > 1: factors.append(n)
break
return factors
pfs = prime_factors(1000)
largest_prime_factor = max(pfs) # The largest element in the prime factor list
实际上，有几种更有效的方法可以找到大数的因子（对于较小的因子，试行工作相当好）。
如果输入数字具有非常接近其平方根的两个因子，则一种非常快的方法称为费马分解。它利用恒等式 N = (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 并且易于理解和实现。不幸的是，它通常不是很快。
对长达 100 位的数字进行因式分解的最著名方法是二次筛。作为奖励，部分算法很容易通过并行处理完成。
我听说过的另一种算法是Pollard 的 Rho 算法。它不像一般的二次筛那样有效，但似乎更容易实现。
一旦你决定如何将一个数字分成两个因子，这是我能想到的最快的算法来找到一个数字的最大素因子：
创建一个优先级队列，该队列最初存储数字本身。每次迭代，您从队列中删除最大的数字，并尝试将其分成两个因素（当然，不允许 1 成为这些因素之一）。如果这一步失败，数字是素数，你有答案！否则，您将这两个因素添加到队列中并重复。
我的回答是基于Triptych的，但在此基础上改进了很多。它基于这样一个事实，即除了 2 和 3，所有质数都是 6n-1 或 6n+1 的形式。
var largestPrimeFactor;
if(n mod 2 == 0)
{
largestPrimeFactor = 2;
n = n / 2 while(n mod 2 == 0);
}
if(n mod 3 == 0)
{
largestPrimeFactor = 3;
n = n / 3 while(n mod 3 == 0);
}
multOfSix = 6;
while(multOfSix - 1 <= n)
{
if(n mod (multOfSix - 1) == 0)
{
largestPrimeFactor = multOfSix - 1;
n = n / largestPrimeFactor while(n mod largestPrimeFactor == 0);
}
if(n mod (multOfSix + 1) == 0)
{
largestPrimeFactor = multOfSix + 1;
n = n / largestPrimeFactor while(n mod largestPrimeFactor == 0);
}
multOfSix += 6;
}
我最近写了一篇博客文章，解释了这个算法是如何工作的。
我敢冒险，一种不需要对素数进行测试（也不需要筛子构造）的方法会比使用这些方法运行得更快。如果是这样的话，这可能是这里最快的算法。
JavaScript 代码：
'option strict';
function largestPrimeFactor(val, divisor = 2) {
let square = (val) => Math.pow(val, 2);
while ((val % divisor) != 0 && square(divisor) <= val) {
divisor++;
}
return square(divisor) <= val
? largestPrimeFactor(val / divisor, divisor)
: val;
}
使用示例：
let result = largestPrimeFactor(600851475143);
类似于@Triptych 的答案，但也不同。在此示例中，未使用列表或字典。代码是用 Ruby 编写的
def largest_prime_factor(number)
i = 2
while number > 1
if number % i == 0
number /= i;
else
i += 1
end
end
return i
end
largest_prime_factor(600851475143)
# => 6857
最简单的解决方案是一对相互递归的函数。
第一个函数生成所有素数：
第二个函数n按递增顺序返回给定数字的质因数。
n。的最大素n数是第二个函数给出的最后一个数。
该算法需要惰性列表或具有按需调用语义的语言（或数据结构） 。
为了澄清起见，这里是 Haskell 中上述的一个（低效）实现：
import Control.Monad
-- All the primes
primes = 2 : filter (ap (<=) (head . primeFactors)) [3,5..]
-- Gives the prime factors of its argument
primeFactors = factor primes
where factor [] n = []
factor xs@(p:ps) n =
if p*p > n then [n]
else let (d,r) = divMod n p in
if r == 0 then p : factor xs d
else factor ps n
-- Gives the largest prime factor of its argument
largestFactor = last . primeFactors
让它更快只是更聪明地检测哪些数字是素数和/或因子的问题n，但算法保持不变。
所有数字都可以表示为素数的乘积，例如：
102 = 2 x 3 x 17
712 = 2 x 2 x 2 x 89
您可以通过简单地从 2 开始并简单地继续除直到结果不是您的数字的倍数来找到这些：
712 / 2 = 356 .. 356 / 2 = 178 .. 178 / 2 = 89 .. 89 / 89 = 1
使用这种方法，您不必实际计算任何素数：它们都将是素数，基于您已经将数字与所有前面的数字尽可能地分解的事实。
number = 712;
currNum = number; // the value we'll actually be working with
for (currFactor in 2 .. number) {
while (currNum % currFactor == 0) {
// keep on dividing by this number until we can divide no more!
currNum = currNum / currFactor // reduce the currNum
}
if (currNum == 1) return currFactor; // once it hits 1, we're done.
}
//this method skips unnecessary trial divisions and makes
//trial division more feasible for finding large primes
public static void main(String[] args)
{
long n= 1000000000039L; //this is a large prime number
long i = 2L;
int test = 0;
while (n > 1)
{
while (n % i == 0)
{
n /= i;
}
i++;
if(i*i > n && n > 1)
{
System.out.println(n); //prints n if it's prime
test = 1;
break;
}
}
if (test == 0)
System.out.println(i-1); //prints n if it's the largest prime factor
}
n = abs(number);
result = 1;
if (n mod 2 == 0) {
result = 2;
while (n mod 2 = 0) n /= 2;
}
for(i=3; i<sqrt(n); i+=2) {
if (n mod i == 0) {
result = i;
while (n mod i = 0) n /= i;
}
}
return max(n,result)
有一些模检验是多余的，因为如果所有因素 2 和 3 都已删除，则 n 永远不能除以 6。您只能允许 i 使用素数，这在此处的其他几个答案中有所显示。
您实际上可以在这里交织 Eratosthenes 的筛子：
sqrt(n).sqrt(n)为非质数，并改用 while 循环。另请参阅此问题。
我知道这不是一个快速的解决方案。发布为希望更容易理解缓慢的解决方案。
public static long largestPrimeFactor(long n) {
// largest composite factor must be smaller than sqrt
long sqrt = (long)Math.ceil(Math.sqrt((double)n));
long largest = -1;
for(long i = 2; i <= sqrt; i++) {
if(n % i == 0) {
long test = largestPrimeFactor(n/i);
if(test > largest) {
largest = test;
}
}
}
if(largest != -1) {
return largest;
}
// number is prime
return n;
}
通过从数字中删除所有素因子的 Python 迭代方法
def primef(n):
if n <= 3:
return n
if n % 2 == 0:
return primef(n/2)
elif n % 3 ==0:
return primef(n/3)
else:
for i in range(5, int((n)**0.5) + 1, 6):
#print i
if n % i == 0:
return primef(n/i)
if n % (i + 2) == 0:
return primef(n/(i+2))
return n
我正在使用算法，该算法继续将数字除以当前的主要因子。
我在 python 3 中的解决方案：
def PrimeFactor(n):
m = n
while n%2==0:
n = n//2
if n == 1: # check if only 2 is largest Prime Factor
return 2
i = 3
sqrt = int(m**(0.5)) # loop till square root of number
last = 0 # to store last prime Factor i.e. Largest Prime Factor
while i <= sqrt :
while n%i == 0:
n = n//i # reduce the number by dividing it by it's Prime Factor
last = i
i+=2
if n> last: # the remaining number(n) is also Factor of number
return n
else:
return last
print(PrimeFactor(int(input())))
输入：10
输出：5
输入：600851475143
输出：6857
受您的问题的启发，我决定在 Python 中实现我自己的因式分解（并找到最大的素数）版本。
我所知道的最容易实现但非常有效的因式分解算法可能是Pollard 的 Rho算法。它的运行时间最多为 ，比试除算法O(N^(1/4))的时间快得多。O(N^(1/2))两种算法只有在复合（非素数）数的情况下才有这些运行时间，这就是为什么应该使用素数测试来过滤掉素数（不可因数）。
我在我的代码中使用了以下算法：Fermat Primality Test ...、 Pollard's Rho Algorithm ...、 Trial Division Algorithm。在运行 Pollard 的 Rho 之前使用 Fermat 素数测试以过滤掉素数。Trial Division 被用作后备，因为 Pollard 的 Rho 在极少数情况下可能无法找到因素，尤其是对于一些小数字。
显然，在将一个数字完全分解为已排序的素因子列表后，最大的素因子将是该列表中的最后一个元素。在一般情况下（对于任何随机数），除了完全分解一个数字之外，我不知道有任何其他方法可以找出最大的素数。
作为我的代码中的一个示例，我正在分解 Pi 的前190个小数位，代码在 1 秒内分解这个数字，并显示最大的素数因子，其大小为165位（545 位）！
def is_fermat_probable_prime(n, *, trials = 32):
# https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_primality_test
import random
if n <= 16:
return n in (2, 3, 5, 7, 11, 13)
for i in range(trials):
if pow(random.randint(2, n - 2), n - 1, n) != 1:
return False
return True
def pollard_rho_factor(N, *, trials = 16):
# https://en.wikipedia.org/wiki/Pollard%27s_rho_algorithm
import random, math
for j in range(trials):
i, stage, y, x = 0, 2, 1, random.randint(1, N - 2)
while True:
r = math.gcd(N, x - y)
if r != 1:
break
if i == stage:
y = x
stage <<= 1
x = (x * x + 1) % N
i += 1
if r != N:
return [r, N // r]
return [N] # Pollard-Rho failed
def trial_division_factor(n, *, limit = None):
# https://en.wikipedia.org/wiki/Trial_division
fs = []
while n & 1 == 0:
fs.append(2)
n >>= 1
d = 3
while d * d <= n and limit is None or d <= limit:
q, r = divmod(n, d)
if r == 0:
fs.append(d)
n = q
else:
d += 2
if n > 1:
fs.append(n)
return fs
def factor(n):
if n <= 1:
return []
if is_fermat_probable_prime(n):
return [n]
fs = trial_division_factor(n, limit = 1 << 12)
if len(fs) >= 2:
return sorted(fs[:-1] + factor(fs[-1]))
fs = pollard_rho_factor(n)
if len(fs) >= 2:
return sorted([e1 for e0 in fs for e1 in factor(e0)])
return trial_division_factor(n)
def demo():
import time, math
# http://www.math.com/tables/constants/pi.htm
# pi = 3.
# 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
# 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
# n = first 190 fractional digits of Pi
n = 1415926535_8979323846_2643383279_5028841971_6939937510_5820974944_5923078164_0628620899_8628034825_3421170679_8214808651_3282306647_0938446095_5058223172_5359408128_4811174502_8410270193_8521105559_6446229489
print('Number:', n)
tb = time.time()
fs = factor(n)
print('All Prime Factors:', fs)
print('Largest Prime Factor:', f'({math.log2(fs[-1]):.02f} bits, {len(str(fs[-1]))} digits)', fs[-1])
print('Time Elapsed:', round(time.time() - tb, 3), 'sec')
if __name__ == '__main__':
demo()
输出：
Number: 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489
All Prime Factors: [3, 71, 1063541, 153422959, 332958319, 122356390229851897378935483485536580757336676443481705501726535578690975860555141829117483263572548187951860901335596150415443615382488933330968669408906073630300473]
Largest Prime Factor: (545.09 bits, 165 digits) 122356390229851897378935483485536580757336676443481705501726535578690975860555141829117483263572548187951860901335596150415443615382488933330968669408906073630300473
Time Elapsed: 0.593 sec
这是我在 c# 中的尝试。最后的打印输出是数字的最大素数。我检查了一下，它有效。
namespace Problem_Prime
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
/*
The prime factors of 13195 are 5, 7, 13 and 29.
What is the largest prime factor of the number 600851475143 ?
*/
long x = 600851475143;
long y = 2;
while (y < x)
{
if (x % y == 0)
{
// y is a factor of x, but is it prime
if (IsPrime(y))
{
Console.WriteLine(y);
}
x /= y;
}
y++;
}
Console.WriteLine(y);
Console.ReadLine();
}
static bool IsPrime(long number)
{
//check for evenness
if (number % 2 == 0)
{
if (number == 2)
{
return true;
}
return false;
}
//don't need to check past the square root
long max = (long)Math.Sqrt(number);
for (int i = 3; i <= max; i += 2)
{
if ((number % i) == 0)
{
return false;
}
}
return true;
}
}
}
#python implementation
import math
n = 600851475143
i = 2
factors=set([])
while i<math.sqrt(n):
while n%i==0:
n=n/i
factors.add(i)
i+=1
factors.add(n)
largest=max(factors)
print factors
print largest
在 C++ 中使用递归计算数字的最大素数。代码的工作解释如下：
int getLargestPrime(int number) {
int factor = number; // assumes that the largest prime factor is the number itself
for (int i = 2; (i*i) <= number; i++) { // iterates to the square root of the number till it finds the first(smallest) factor
if (number % i == 0) { // checks if the current number(i) is a factor
factor = max(i, number / i); // stores the larger number among the factors
break; // breaks the loop on when a factor is found
}
}
if (factor == number) // base case of recursion
return number;
return getLargestPrime(factor); // recursively calls itself
}
这是我快速计算最大素数的方法。它基于修饰x不包含非主要因素的事实。为了实现这一点，我们x会在找到一个因素后立即进行划分。然后，唯一剩下的就是返回最大的因子。它已经是主要的了。
代码（哈斯克尔）：
f max' x i | i > x = max'
| x `rem` i == 0 = f i (x `div` i) i -- Divide x by its factor
| otherwise = f max' x (i + 1) -- Check for the next possible factor
g x = f 2 x 2
以下 C++ 算法不是最好的，但它适用于十亿以下的数字，而且速度非常快
#include <iostream>
using namespace std;
// ------ is_prime ------
// Determines if the integer accepted is prime or not
bool is_prime(int n){
int i,count=0;
if(n==1 || n==2)
return true;
if(n%2==0)
return false;
for(i=1;i<=n;i++){
if(n%i==0)
count++;
}
if(count==2)
return true;
else
return false;
}
// ------ nextPrime -------
// Finds and returns the next prime number
int nextPrime(int prime){
bool a = false;
while (a == false){
prime++;
if (is_prime(prime))
a = true;
}
return prime;
}
// ----- M A I N ------
int main(){
int value = 13195;
int prime = 2;
bool done = false;
while (done == false){
if (value%prime == 0){
value = value/prime;
if (is_prime(value)){
done = true;
}
} else {
prime = nextPrime(prime);
}
}
cout << "Largest prime factor: " << value << endl;
}
“James Wang”在网上找到了这个解决方案
public static int getLargestPrime( int number) {
if (number <= 1) return -1;
for (int i = number - 1; i > 1; i--) {
if (number % i == 0) {
number = i;
}
}
return number;
}
使用筛子的素因子：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10001
typedef long long ll;
bool visit[N];
vector<int> prime;
void sieve()
{
memset( visit , 0 , sizeof(visit));
for( int i=2;i<N;i++ )
{
if( visit[i] == 0)
{
prime.push_back(i);
for( int j=i*2; j<N; j=j+i )
{
visit[j] = 1;
}
}
}
}
void sol(long long n, vector<int>&prime)
{
ll ans = n;
for(int i=0; i<prime.size() || prime[i]>n; i++)
{
while(n%prime[i]==0)
{
n=n/prime[i];
ans = prime[i];
}
}
ans = max(ans, n);
cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
ll tc, n;
sieve();
cin>>n;
sol(n, prime);
return 0;
}
这是我在 Clojure 中的尝试。只为主要因素走赔率prime?和素数，即。sieve. 使用惰性序列有助于在需要它们之前生成值。
(defn prime?
([n]
(let [oddNums (iterate #(+ % 2) 3)]
(prime? n (cons 2 oddNums))))
([n [i & is]]
(let [q (quot n i)
r (mod n i)]
(cond (< n 2) false
(zero? r) false
(> (* i i) n) true
:else (recur n is)))))
(def primes
(let [oddNums (iterate #(+ % 2) 3)]
(lazy-seq (cons 2 (filter prime? oddNums)))))
;; Sieve of Eratosthenes
(defn sieve
([n]
(sieve primes n))
([[i & is :as ps] n]
(let [q (quot n i)
r (mod n i)]
(cond (< n 2) nil
(zero? r) (lazy-seq (cons i (sieve ps q)))
(> (* i i) n) (when (> n 1) (lazy-seq [n]))
:else (recur is n)))))
(defn max-prime-factor [n]
(last (sieve n)))
猜猜，除了执行分解之外没有直接的方法，就像上面的例子所做的那样，即
在迭代中，您确定数字N的“小”因子f，然后继续简化问题“找到N':=N/f的最大素因子，因子候选>=f ”。
从f的某个大小开始，如果您对减少的 N'进行素性测试，那么预期的搜索时间会更短，以防万一，您的N'已经是初始N的最大素数。
在我看来，给出的算法的第 2 步不会是一种有效的方法。你没有合理的期望它是素数。
此外，先前暗示埃拉托色尼筛法的答案是完全错误的。我刚刚编写了两个程序来分解 123456789。一个基于 Sieve，一个基于以下内容：
1) Test = 2
2) Current = Number to test
3) If Current Mod Test = 0 then
3a) Current = Current Div Test
3b) Largest = Test
3c) Goto 3.
4) Inc(Test)
5) If Current < Test goto 4
6) Return Largest
这个版本比 Sieve 快 90 倍。
问题是，在现代处理器上，操作类型的重要性远低于操作数量，更不用说上面的算法可以在缓存中运行，而 Sieve 则不能。Sieve 使用了很多操作来剔除所有的合数。
另请注意，我在确定因素时将它们分开会减少必须测试的空间。
首先计算一个存储素数的列表，例如 2 3 5 7 11 13 ...
每次对一个数进行质数分解时，请使用 Triptych 的实现，但迭代这个质数列表而不是自然整数。
使用 Java：
对于int值：
public static int[] primeFactors(int value) {
int[] a = new int[31];
int i = 0, j;
int num = value;
while (num % 2 == 0) {
a[i++] = 2;
num /= 2;
}
j = 3;
while (j <= Math.sqrt(num) + 1) {
if (num % j == 0) {
a[i++] = j;
num /= j;
} else {
j += 2;
}
}
if (num > 1) {
a[i++] = num;
}
int[] b = Arrays.copyOf(a, i);
return b;
}
对于long值：
static long[] getFactors(long value) {
long[] a = new long[63];
int i = 0;
long num = value;
while (num % 2 == 0) {
a[i++] = 2;
num /= 2;
}
long j = 3;
while (j <= Math.sqrt(num) + 1) {
if (num % j == 0) {
a[i++] = j;
num /= j;
} else {
j += 2;
}
}
if (num > 1) {
a[i++] = num;
}
long[] b = Arrays.copyOf(a, i);
return b;
}
这可能并不总是更快，但更乐观的是你找到了一个大的主要除数：
N是你的号码return(N)Sqrt(N)N is divisible by Prime那时Return(Prime)编辑：在第 3 步中，您可以使用 Eratosthenes 筛或阿特金斯筛或任何您喜欢的筛子，但筛子本身不会为您找到最大的主要因素。（这就是为什么我不会选择 SQLMenace 的帖子作为官方答案的原因......）
这里是作为生成器提供的同样的函数@Triptych，它也被稍微简化了。
def primes(n):
d = 2
while (n > 1):
while (n%d==0):
yield d
n /= d
d += 1
然后可以使用以下方法找到最大素数：
n= 373764623
max(primes(n))
以及使用以下方法找到的因素列表：
list(primes(n))
我认为最好将所有可能的素数都存储在小于 n 的地方，然后遍历它们以找到最大的除数。您可以从prime-numbers.org获得素数。
当然我假设你的数字不是太大:)
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>
#include <time.h>
factor(long int n)
{
long int i,j;
while(n>=4)
{
if(n%2==0) { n=n/2; i=2; }
else
{ i=3;
j=0;
while(j==0)
{
if(n%i==0)
{j=1;
n=n/i;
}
i=i+2;
}
i-=2;
}
}
return i;
}
void main()
{
clock_t start = clock();
long int n,sp;
clrscr();
printf("enter value of n");
scanf("%ld",&n);
sp=factor(n);
printf("largest prime factor is %ld",sp);
printf("Time elapsed: %f\n", ((double)clock() - start) / CLOCKS_PER_SEC);
getch();
}