math - 如何将方向向量转换为欧拉角？

Question

我正在寻找一种将方向矢量（X、Y、Z）转换为欧拉角（航向、俯仰、坡度）的方法。我知道方向向量本身不足以获得坡度角，所以还有另一个所谓的上向量。

有方向向量 (X,Y,Z) 和向上向量 (X,Y,Z) 如何将其转换为欧拉角？

Answer 1

让我们看看我是否理解正确。这是关于刚体在三维空间中的方向，就像飞行中的飞机一样。那架飞机的机头指向方向向量

D=(XD,YD,ZD) .

朝向屋顶的是向上的向量

U=(XU,YU,ZU) .

那么标题 H将是D投影到地球表面的方向矢量：

H=(XD,YD,0) ,

有一个相关的角度

angle_H=atan2(YD,XD) .

俯仰P 将是鼻子相对于地平线的上/下角，如果方向矢量D被归一化，你可以从

ZD=sin(angle_P)

导致

angle_P=asin(ZD) .

最后，对于倾斜角，我们考虑机翼的方向，假设机翼垂直于身体。如果飞机直线飞向D，机翼指向垂直D并平行于地球表面：

W0 = ( -YD, XD, 0 )

这将是 0 的坡度角。预期的向上向量将垂直于W0并垂直于D

U0 = W0 × D

×表示叉积 。如果坡度角为零，则U等于，否则和之间的角度是坡度角，可以由下式计算U0UU0angle_B

cos(angle_B) = Dot(U0,U) / abs(U0) / abs(U)
sin(angle_B) = Dot(W0,U) / abs(W0) / abs(U) .

这里 'abs' 计算向量的长度。从那里你得到银行角度为

angle_B = atan2( Dot(W0,U) / abs(W0), Dot(U0,U) / abs(U0) ) .

如果U和D被归一化，则归一化因子相互抵消。

Answer 2

我们需要三个向量：用世界坐标系 (WCS) 表示的局部坐标系 (LCS) 的 X1、Y1、Z1。下面的代码展示了如何根据这 3 个向量计算三个欧拉角。

#include <math.h> 
#include <float.h> 

#define PI 3.141592653589793 
/**
 * @param X1x
 * @param X1y
 * @param X1z X1 vector coordinates
 * @param Y1x
 * @param Y1y
 * @param Y1z Y1 vector coordinates
 * @param Z1x
 * @param Z1y
 * @param Z1z Z1 vector coordinates
 * @param pre precession rotation
 * @param nut nutation rotation
 * @param rot intrinsic rotation
 */
void lcs2Euler(
        double X1x, double X1y, double X1z,
        double Y1x, double Y1y, double Y1z,
        double Z1x, double Z1y, double Z1z,
        double *pre, double *nut, double *rot) {
    double Z1xy = sqrt(Z1x * Z1x + Z1y * Z1y);
    if (Z1xy > DBL_EPSILON) {
        *pre = atan2(Y1x * Z1y - Y1y*Z1x, X1x * Z1y - X1y * Z1x);
        *nut = atan2(Z1xy, Z1z);
        *rot = -atan2(-Z1x, Z1y);
    }
    else {
        *pre = 0.;
        *nut = (Z1z > 0.) ? 0. : PI;
        *rot = -atan2(X1y, X1x);
    }
}