r - 在 R 上整数值有限的对称矩阵中找到最大行列式

Question

我正在使用 R 来尝试找到对称 3x3 矩阵的最大可能行列式，其所有条目都位于整数集合 {1,2,3,4,5,6} 可以具有？

有什么想法我会怎么做？

Answer 1

在选择 3x3 对称矩阵中的元素时有六个自由度（3 个主对角线条目和 3 个非对角线条目）。这些中的每一个都可以采用 6 个不同的值，总共有 46,656 个可能的矩阵。我们可以蛮力检查所有的决定因素：

get.det = function(x) {
    det(matrix(c(x[1], x[2], x[3], x[2], x[4], x[5], x[3], x[5], x[6]), nrow=3))
}

vals = expand.grid(1:6, 1:6, 1:6, 1:6, 1:6, 1:6)
dets = apply(vals, 1, get.det)
vals[which.max(dets),]
#      Var1 Var2 Var3 Var4 Var5 Var6
# 6691    1    6    6    1    6    1

所以你的矩阵是：

[1 6 6
 6 1 6
 6 6 1]

行列式 325。

Answer 2

我比@josilber 慢一点，得出相同的结论（我的回答更笼统）

d <- 3
n <- d*(d+1)/2
xx <- do.call(expand.grid,replicate(n,1:n,simplify=FALSE))

构造对称矩阵：

mm <- matrix(nrow=d,ncol=d)  ## define once, outside loop
m <- function(x) {
   mm[lower.tri(mm,diag=TRUE)] <- unlist(x)
   mm[upper.tri(mm)] <- t(mm)[upper.tri(mm)]
   mm
}

获取矩阵列表：

library(plyr)
mList <- alply(xx,1,m,.progress="text")

获取每个矩阵的行列式：

detvec <- laply(mList,det)

找到最大值：

max(detvec)  ## 325
mList[[which.max(detvec)]]

纯娱乐：

plot(table(detvec))

数学猜测/猜想是 max-det 矩阵是否始终是对角线和n非对角线为 1 的矩阵，或者这是否取决于矩阵是奇数还是偶数......以及如何证明这一点。