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我需要使用python来计算形式对象的对数

log( 1 - n0 - n1*1j)

其中 n0 和 n1 是非常小的数字~ 1.0e-27 和 1j 是虚数。

使用 cmath.log 给出了错误的答案

print cmath.log( 1.0 -  1e-27 - 1.0e-27j )
(5e-55-1e-27j)

使用 mpmath 我可以获得正确的结果，但前提是我正确地表达了论点

import mpmath as mp
mp.prec = 100
print mp.log(   mp.mpc(1.0) -  mp.mpc(0.00000000000000000000000001)  - mp.mpc(real='0.0', imag='1.0e-27') )

给

(-1.0000389695486766657204483072e-26 - 1.00000000000000000000000001e-27j)

（这是正确答案）而

print mp.log(  mp.mpc(0.99999999999999999999999999)  - mp.mpc(real='0.0', imag='1.0e-27') )

给

(5.0e-55 - 1.0e-27j)

这里发生了什么？我可以仅使用 cmath.log() 得到正确答案吗？

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Python 使用 IEEE binary64 标准（通常称为双精度）来表示浮点数。binary64 只有大约 15 个十进制数字的精度；超过 15 位的数字无法准确表示。正如你在这里看到的：

>>> 1 - 1e-27
1.0

精度损失导致1 - 1e-27四舍五入1.0。更复杂的数学库提供了计算比您输入的数字多 1 的对数的函数。例如，在numpy中：

>>> numpy.log1p(-1e-27-1e-27j)
-1e-27j

...不幸的是，这也是错误的。这让我很惊讶。我不确定为什么会这样。下一个最好的选择可能是使用像 mpmath 这样的任意精度数学库。确保使用字符串而不是浮点数来初始化任意精度的数字。如果您使用浮点文字，在任意精度库开始发挥作用之前，您将损失大量精度。

于 2014-01-16T11:29:12.717 回答
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双精度格式大约有 15 个十进制数字。cmath.log()在您的情况下会失去精度，因为它在幅度数（1. 和您的小数）上的总和差异太大。

如果您的算法不需要高速，您可以使用泰勒级数log(1+x)。IE：

log(1+x) = x - x**2/2 + x**3/3 + ...

为了更精确，您可以实现Kahan summation algorithm。

您还可以使用以下公式：

log(1+x) = math.log1p(x) + 1j*cmath.phase(1+x),

wheremath.log1p为小 x 精确计算对数。

于 2014-01-16T12:02:03.273 回答