math - 在 3D 空间中任意变换的等边三角形的法线

Question

我有一个问题，我似乎无法找到一个起点；我什至不确定我能不能很好地描述它以获得答案。

我需要在不事先知道三角形点的情况下在 3D 空间中找到等边三角形的法线。考虑从任何角度拍摄三角形“屈服”街道标志的照片，并从该照片中确定标志的朝外法线。（我没有这样做，确切地说，但类似 ​​- 所以我将从这里使用标志/照片隐喻）。

** 更新 **：在我问我的版本的前一天出现了同样的问题，你可以在这里查看。感谢 BlueRaja 将我指向那里。我认为那里的讨论会回答这个问题。但是，下面介绍了一种计算方法，该方法也非常有趣。

当我在代码中创建三角形时，我知道如何找到三角形的法线，但不确定如何将点映射到 3D 照片中的三角形。我知道每一边的长度，所以我知道这些点在任何方向上应该相距多远。我可以构建一个交互式工具，我可以覆盖一个三角形并将其旋转到某个位置并从中获取点，但我需要在没有交互的情况下执行此操作。这样做也无助于我弄清楚所涉及的数学。

我什至不确定我是否需要像找到正确的旋转矩阵一样确定点。

我只是不知道从哪里开始......搜索这个概念是空的，或者不是我想要做的（例如：它们是 2D 转换而不是 3D）

也有可能我把事情过于复杂了，并且有一个简单的变换方程可以在它的睡眠中做到这一点。

想法？提前致谢！

Answer 1

我觉得我昨天才回答这个问题。

Answer 2

这可以通过数学或计算来解决（除了内置的四重歧义）。既然如此，我将描述一种计算方法。

总而言之，该方法是查看投影角度，并且由于您知道真实角度，因此您可以计算方向。具体来说，从下面的可视化开始：想象三角形在 xy 平面上是平的，它沿 z 轴是法线的，并在此处放置一个接触三角形所有角的球体，所有内容都以原点为中心。现在旋转球体所有点的法线并注意投影角度。这里的关键点是，现在对于每个可能的投影角度，您可以在球体上绘制等角路径（即表示您观察到相同投影角度的所有位置的法线路径 - 这可能是一个圆，但如果不进行数学计算，我不确定）。所以要解决原来的问题，取两个观察角，画出等角路径，

在计算上，通过将法线在球体上以 1 度增量移动来构建等角路径，并注意每个位置的三个角度，然后通过按角度对其进行排序，将这些数据重新排列为等角路径。然后对于观察到的投影中的两个角度，找到两个等角路径相交的位置。请注意，路径将有两个交叉点，这对应于特定角是靠近还是远离观察者的内置模糊性，并且根据您选择处理法线反射的方式，路径可能会断开连接（虽然除了反射之外，我认为等角路径不会断开）。