嘿，数学极客，我有一个问题一直困扰着我一段时间。这是一个个人项目。
我有三个点：红色、绿色和蓝色。它们位于纸板上，红点位于左下角 (0,0)，蓝点位于右下角 (1,0)，绿点位于左上角。想象一下退后一步，从某个角度为卡片拍照。如果您要找到图片中每个点的中心（假设单位是像素），您将如何找到图片中卡片脸部的法线向量（相对于相机）？
现在我对这个问题有几点看法：
希望那里有人做到这一点，或者是一个数学天才。我有两个朋友在这里帮助我，我们 - 到目前为止 - 没有成功。
我在旧版本的 MathCAD 中解决了这个问题：
编辑：MathCAD 屏幕截图中的措辞错误：“已知：g和b相互垂直”
在 MathCAD 中，我忘记了做叉积的最后一步，我将从我之前的答案中复制粘贴到这里：
现在我们已经解决了平移 g 和 b 点的 XYZ，您最初的问题需要平面的法线。
如果 cross g x b，我们将得到两个法线向量：
| u1 u2 u3 | g x b = | g1 g2 g3 | | b1 b2 b3 | = (g2b3 - b2g3)u1 + (b1g3 - b3g1)u2 + (g1b2 - b1g2)u3所有值都是已知的，将它们插入（我不会写出替换为 g3 和 b3 的版本，因为它太长而且太丑了，无法提供帮助。
但实际上，我认为您必须以数字方式解决它，调整g z和b z以最适合条件：
g · b = 0
和
| 克| = | 乙|
由于像素在代数上不是完美的。
使用一张阿波罗 13 号宇航员装配命令模块的方形氢氧化锂罐在 LEM 中工作的照片，我找到了角落：
使用它们作为我的 XY 平面的基础：
我使用 Photoshop 记录了像素位置，正 X 向右，正 Y 向下（以保持 Z 的右手规则“进入”图片）：
g = (79.5, -48.5, g z )
b = (-110.8, -62.8, bz )
将两个起始公式打入 Excel，并使用分析工具包通过调整g z和b z来“最小化”误差，得到两个 Z 值：
g = (79.5, -48.5, 102.5)
b = (-110.8, -62.8, 56.2)
然后让我计算其他有趣的值。
g和b的长度（以像素为单位）：
| 克| = 138.5
| 乙| = 139.2
法线向量：
g x b = (3710, -15827, -10366)
单位法线（长度1）：
u N = (0.1925, -0.8209, -0.5377)
正常缩放到与g和b (138.9)相同的长度（以像素为单位）：
正常 = (26.7, -114.0, -74.7)
现在我有了与g和b长度相同的法线，我将它们绘制在同一张图片上：
我认为您将遇到一个新问题：相机镜头引入的失真。这三个点没有完美地投影到二维摄影平面上。存在球面变形，使直线不再笔直，使相等的长度不再相等，并使法线略微偏离法线。
微软研究有一个算法来计算如何纠正相机的失真：
但这超出了我的范围：
我们提出了一种灵活的新技术来轻松校准相机。它非常适合在没有 3D 几何或计算机视觉专业知识的情况下使用。该技术只需要相机观察在几个（至少两个）不同方向上显示的平面图案。相机或平面图案都可以自由移动。运动不需要知道。径向镜头畸变被建模。所提出的程序包括一个封闭形式的解决方案，然后是基于最大似然准则的非线性细化。计算机模拟和真实数据都用于测试所提出的技术，并获得了很好的结果。与使用昂贵设备（例如两个或三个正交平面）的经典技术相比，所提出的技术易于使用且灵活。
他们有一个示例图像，您可以在其中看到失真：
（来源：microsoft.com）
笔记
Guy 在派生的代数公式中发现了一个错误。修复它会导致公式，我不认为，有一个简单的封闭形式。这还不错，因为无论如何都无法完全解决；但在数字上。
这是 Excel 的屏幕截图，我从两个已知规则开始：
g · b = 0
和
| 克| = | 乙|
将第二个写为差异（“错误”数量），然后您可以将两者相加并将该值用作数字以使 excel 的求解器最小化：
这意味着您必须编写自己的数字迭代求解器。我正在盯着我的大学工程数值方法教科书；我知道它包含求解没有简单封闭形式的递归方程的算法。
从它的声音来看，您有三个点p 1、p 2和p 3定义了一个平面，并且您想要找到该平面的法线向量。
将点表示为来自原点的向量，法线向量的方程为n
= ( p 2 - p 1 )x( p 3 - p 1 )
（其中 x 是两个向量的叉积）
如果你想让向量从卡片的正面向外指向，那么根据右手法则，设置
p 1 = red（左下） dot
p 2 = blue（右下） dot
p 3 = green（上-左）点
@ Ian Boyd ...我喜欢你的解释，只是当你说要解决b z时，我被困在第 2 步。你的答案中仍然有b z，我认为你的答案中不应该有b z ......
b z应该是g x 2 + g y 2 + g z 2 - b x 2 - b y 2的 +/- 平方根
在我自己这样做之后，我发现当你求解 g z时很难将b z代入第一个方程，因为当代入 b z时，你现在会得到：
g z = -(g x b x + g y b y ) / sqrt( g x 2 + g y 2 + g z 2 - b x 2 - b y 2 )
使这变得困难的部分是平方根中有g z ，所以你必须将它分开并将g z组合在一起，然后求解g z我做了，只是我不认为我解决它的方式是正确的，因为当我编写程序为我计算g z时，我使用了您的g x和g y值来查看我的答案是否与您的相符，但事实并非如此。
所以我想知道你是否可以帮助我，因为我真的需要让它为我的一个项目工作。谢谢！
只是想我的脚在这里。
您的有效输入是视比 RB/RG [+]、视角 BRG 以及（比如说）RB 与您的屏幕坐标 y 轴形成的角度（我错过了什么吗）。您需要归一化法线（嘿！）向量的分量，我相信这只是两个独立的值（尽管如果卡片是透明的，您会留下前后歧义）。[++]
所以我猜这是可能的......
从这里开始，我假设 RB 的视角始终为 0，我们可以稍后围绕 z 轴旋转最终解。
从与观察平面平行放置并以“自然”方式定向的卡片开始（即尊重您的上与下和左与右分配）。我们可以通过\theta围绕初始 x 轴（对于-\pi/2 < \theta < \pi/2）旋转，然后\phi围绕初始 y 轴（对于-\pi/2 < \phi < \pi/2）旋转来到达卡片的所有有趣位置。请注意，我们保留了 RB 矢量的明显方向。
下一步根据 and 计算表观比和表观角度\theta并\phi反转结果。 [+++]
法线将R_y(\phi)R_x(\theta)(0, 0, 1)用于R_i围绕轴的原始旋转矩阵i。
[+] 绝对长度不计算在内，因为它只是告诉你到卡片的距离。
[++] 再假设：卡片到观察平面的距离远大于卡片的尺寸。
[+++] 这里你使用的从三维空间到观察平面的投影很重要。这是困难的部分，但除非您说出您使用的是什么投影，否则我们无法为您做任何事情。如果您使用的是真实相机，那么这是透视投影，基本上任何有关 3D 图形的书籍都对此进行了介绍。
对，法线向量不会随距离而变化，但纸板在图片上的投影确实会随距离而变化（简单：如果你有一个小纸板，没有任何变化。如果你有一个 1 英里宽和 1 英里高的纸板，并且你旋转它，使一侧更近，另一侧更远，在图片上近侧被放大而远侧被缩短。你可以立即看到一个矩形不再是矩形，而是一个梯形）
对于小角度和以中间为中心的相机，最准确的方法是测量中间线上的“正常”图像和角度图像之间的宽度/高度比（因为它们没有翘曲）。
我们将 x 定义为从左到右，y 定义为从下到上，z 定义为从远到近。
然后
x = arcsin(measuredWidth/normWidth) 红蓝
y = arcsin(measuredHeight/normHeight) 红绿
z = sqrt(1.0-x^2-y^2)
我明天会计算一个更精确的解决方案，但我现在太累了......
您可以使用 u,v,n 坐标。将您的视点设置为“眼睛”或“相机”的位置，然后将 x、y、z 坐标转换为 u、v、n。从那里您可以确定法线以及透视和可见表面（如果需要）（u'，v'，n'）。另外，请记住 2D = 3D，z=0。最后，确保使用同质坐标。
